证明 isabelle/hol 中的解释时的多态 "fix" 语句

Question

我正在努力证明关于多变量的一些基本事实多项式，因此需要一个多阶类型。为了模拟这个，我使用了一些未指定类型的变量名的部分函数到自然数：

type_synonym 'v multi_degree = "'v ⇒ nat"

还有一些涉及有限支持的内容，但没有这个问题真的很重要。然后我定义添加以明显的逐点方式进行多度：

definition zero_degree :: "'v multi_degree" where "zero_degree = (λ v. 0)"

definition md_plus :: "'v multi_degree ⇒ 'v multi_degree ⇒ 'v multi_degree" (infix "⊕" 70) where
  "(d1 ⊕ d2) = (λ v. d1 v + d2 v)"

lemma assoc_md_plus [simp]: "d1 ⊕ (d2 ⊕ d3) = (d1 ⊕ d2) ⊕ d3"
  by (rule; simp add: md_plus_def)

lemma ident_zero_degree [simp]: "d ⊕ zero_degree = d" and "zero_degree ⊕ d = d"
  by (auto simp add: md_plus_def zero_degree_def)

lemma sym_md_plus: "d ⊕ d' = d' ⊕ d"
  by (rule; simp add: md_plus_def)

现在我想说多度相加的结构是一个可交换的幺半群。显而易见的事情是像这个：

interpretation md: comm_monoid "op ⊕" "zero_degree"
proof

到目前为止一切顺利：输出是

goal (3 subgoals):
 1. ⋀a b c. (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
 2. ⋀a b. a ⊕ b = b ⊕ a
 3. ⋀a. a ⊕ zero_degree = a

我绝对可以证明！但是，如果我现在写

interpretation md: comm_monoid "op ⊕" "zero_degree"
proof
  fix a
  show "a ⊕ zero_degree = a" by simp

然后我收到警告

Introduced fixed type variable(s): 'c in "a__"

有没有办法避免警告？现在，我作弊并证明了用

解释

interpretation md: comm_monoid "op ⊕" "zero_degree"
  by (unfold_locales; simp?; rule sym_md_plus)

哪个有效，但未来的读者并不十分清楚...

Answer 1

就写fix a :: "'a multi_degree"。如果没有其他约束，Isabelle 将选择 'a 作为类型变量。但是，我认为明确绑定类型变量是一种很好的风格，例如

interpretation md: comm_monoid "op ⊕" "zero_degree :: 'a multi_degree"
proof
  fix a :: "'a multi_degree"

再说一句：您可能要考虑使用 typedef 为 multi_degree 引入一个新类型，然后使用 lifting/transfer 定义您想要在其上定义的所有函数。（见相应手册）

这样做的好处是您可以实例化正确的类型类（如 comm_monoid_add），而不必一直进行区域设置假设。此外，您可以编写 + 和 0 而不是 ⊕ 和 zero_degree。

证明 isabelle/hol 中的解释时的多态 "fix" 语句

Polymorphic "fix" statements when proving interpretations in isabelle/hol

polymorphism

isabelle