在 Theano 中循环（或向量化）可变长度矩阵

Question

我有一个矩阵列表 L，其中每个项目 M 是一个 x*n 矩阵（x 是一个变量，n 是一个持续的）。

我想为 L 中的所有项目计算 M'*M 的总和（M' 是 M 的转置）如下 Python代码：

for M in L:
  res += np.dot(M.T, M)

实际上我想在 Theano 中实现这个（它不支持可变长度的多维数组），我不想将所有矩阵填充到相同的大小，因为那样会浪费太多 space （有些矩阵可能非常大）。

有更好的方法吗？

编辑:

L 在 Theano 编译之前就知道了。

编辑:

收到来自@DanielRenshaw 和@Divakar 的两个优秀答案，情感上难以选择一个接受。

Answer 1

鉴于在需要进行 Theano 编译之前已知矩阵的数量，可以简单地使用常规的 Python Theano 矩阵列表。

这是一个完整的示例，显示了 numpy 和 Theano 版本之间的区别。

此代码已更新，包括与@Divakar 的矢量化方法的比较，后者性能更好。 Theano 有两种向量化方法，一种是 Theano 执行连接，另一种是 numpy 执行连接，然后将结果传递给 Theano。

import timeit
import numpy as np
import theano
import theano.tensor as tt


def compile_theano_version1(number_of_matrices, n, dtype):
    assert number_of_matrices > 0
    assert n > 0
    L = [tt.matrix() for _ in xrange(number_of_matrices)]
    res = tt.zeros(n, dtype=dtype)
    for M in L:
        res += tt.dot(M.T, M)
    return theano.function(L, res)


def compile_theano_version2(number_of_matrices):
    assert number_of_matrices > 0
    L = [tt.matrix() for _ in xrange(number_of_matrices)]
    concatenated_L = tt.concatenate(L, axis=0)
    res = tt.dot(concatenated_L.T, concatenated_L)
    return theano.function(L, res)


def compile_theano_version3():
    concatenated_L = tt.matrix()
    res = tt.dot(concatenated_L.T, concatenated_L)
    return theano.function([concatenated_L], res)


def numpy_version1(*L):
    assert len(L) > 0
    n = L[0].shape[1]
    res = np.zeros((n, n), dtype=L[0].dtype)
    for M in L:
        res += np.dot(M.T, M)
    return res


def numpy_version2(*L):
    concatenated_L = np.concatenate(L, axis=0)
    return np.dot(concatenated_L.T, concatenated_L)


def main():
    iteration_count = 100
    number_of_matrices = 20
    n = 300
    min_x = 400
    dtype = 'float64'
    theano_version1 = compile_theano_version1(number_of_matrices, n, dtype)
    theano_version2 = compile_theano_version2(number_of_matrices)
    theano_version3 = compile_theano_version3()
    L = [np.random.standard_normal(size=(x, n)).astype(dtype)
         for x in range(min_x, number_of_matrices + min_x)]

    start = timeit.default_timer()
    numpy_res1 = np.sum(numpy_version1(*L)
                        for _ in xrange(iteration_count))
    print 'numpy_version1', timeit.default_timer() - start

    start = timeit.default_timer()
    numpy_res2 = np.sum(numpy_version2(*L)
                        for _ in xrange(iteration_count))
    print 'numpy_version2', timeit.default_timer() - start

    start = timeit.default_timer()
    theano_res1 = np.sum(theano_version1(*L)
                         for _ in xrange(iteration_count))
    print 'theano_version1', timeit.default_timer() - start

    start = timeit.default_timer()
    theano_res2 = np.sum(theano_version2(*L)
                         for _ in xrange(iteration_count))
    print 'theano_version2', timeit.default_timer() - start

    start = timeit.default_timer()
    theano_res3 = np.sum(theano_version3(np.concatenate(L, axis=0))
                         for _ in xrange(iteration_count))
    print 'theano_version3', timeit.default_timer() - start

    assert np.allclose(numpy_res1, numpy_res2)
    assert np.allclose(numpy_res2, theano_res1)
    assert np.allclose(theano_res1, theano_res2)
    assert np.allclose(theano_res2, theano_res3)


main()

当运行打印时（类似于）

numpy_version1 1.47830819649
numpy_version2 1.77405482179
theano_version1 1.3603150303
theano_version2 1.81665318145
theano_version3 1.86912039489

断言通过，表明 Theano 和 numpy 版本都以高精度计算相同的结果。显然，如果使用 float32 而不是 float64.

，这种准确性会降低

时序结果表明向量化方法可能并不可取，这取决于矩阵大小。在上面的示例中，矩阵很大，non-concatenation 方法更快，但是如果 n 和 min_x 参数在 main 函数中更改为更小，那么串联方法更快。运行在 GPU 上运行时（仅限 Theano 版本）可能会出现其他结果。

Answer 2

您可以只沿着第一个轴填充输入数组，即所有 x 的总和。因此，我们最终会得到一个高 (X,n) 数组，其中 X =x1+x2+x3+....。这可以被转置，它与自身的点积将是形状 (n,n) 的所需输出。所有这一切都是通过利用强大的点积的纯矢量化解决方案实现的。因此，实现将是 -

# Concatenate along axis=0
Lcat = np.concatenate(L,axis=0)

# Perform dot product of the transposed version with self
out = Lcat.T.dot(Lcat)

运行时测试并验证输出 -

In [116]: def vectoized_approach(L):
     ...:   Lcat = np.concatenate(L,axis=0)
     ...:   return Lcat.T.dot(Lcat)
     ...: 
     ...: def original_app(L):
     ...:   n = L[0].shape[1]
     ...:   res = np.zeros((n,n))
     ...:   for M in L:
     ...:     res += np.dot(M.T, M)
     ...:   return res
     ...: 

In [117]: # Input
     ...: L = [np.random.rand(np.random.randint(1,9),5)for iter in range(1000)]

In [118]: np.allclose(vectoized_approach(L),original_app(L))
Out[118]: True

In [119]: %timeit original_app(L)
100 loops, best of 3: 3.84 ms per loop

In [120]: %timeit vectoized_approach(L)
1000 loops, best of 3: 632 µs per loop

Answer 3

除了@DanielRenshaw 的回答，如果我们将矩阵的数量增加到 1000，compile_theano_version1 函数将产生 RuntimeError: maximum recursion depth exceeded，而 compile_theano_version2 似乎需要很长时间才能编译。

使用 typed_list:

可以解决这个问题

def compile_theano_version4(number_of_matrices, n):
    import theano.typed_list
    L = theano.typed_list.TypedListType(tt.TensorType(theano.config.floatX, broadcastable=(None, None)))()
    res, _ = theano.scan(fn=lambda i: tt.dot(L[i].T, L[i]),
                         sequences=[theano.tensor.arange(number_of_matrices, dtype='int64')])
    return theano.function([L], res.sum(axis=0))

此外，我将所有相关变量的数据类型设置为float32和运行@DanielRenshaw在GPU上的脚本，结果是@Divakar的建议（theano_version3）是在这种情况下效率最高。尽管正如@DanielRenshaw 所说，使用巨大的矩阵可能并不总是一个好习惯。

以下是我机器上的设置和输出。

iteration_count = 100
number_of_matrices = 200
n = 300
min_x = 20
dtype = 'float32'
theano.config.floatX = dtype


numpy_version1 5.30542397499
numpy_version2 3.96656394005
theano_version1 5.26742005348
theano_version2 1.76983904839
theano_version3 1.03577589989
theano_version4 5.58366179466

在 Theano 中循环（或向量化）可变长度矩阵

Loop over (or vectorize) variable length matrices in Theano

algorithm

optimization

matrix

vectorization

theano