创建一个分段平滑函数，保留数据中的局部积分
Create a piecewise smooth function which preserves local integrals from data
我是一名正在写论文的社会学博士生。在一些数据分析过程中，我遇到了以下问题。
我有一个 table 一些变量在一系列年份中的测量值。值很重要，"how many events of a certain type there are in a given year"? 下面是它的示例：
year var
1983 22
1984 55
1985 34
1986 29
1987 15
1988 20
1989 41
所以，例如1984年，全年共发生55起。
在 [1983、1990) 的实数域上表示此数据的一种方法是使用分段函数 f：
f(x) = var if floor(x) == year, for all x in [1983, 1990).
此函数绘制一系列宽度为 1 的水平线，绘制变量的条形图。每条线下的面积等于当年的变量值。但是，对于这个变量，我知道每年的比率在全年都不是恒定的。换句话说，事件不会在 12 月 31 日一夜之间突然从一个年率跳到另一个年率，因为（不连续）函数 f 似乎呈现。我不确切知道汇率如何变化，但我想假设年复一年地平稳过渡。
所以，我想要的是一个函数 g，它在域 [1983, 1990] 上既连续又平滑（连续可微），它还保留了每年的总数。 即g从1984年到1985年的定积分一定还是55，其他年份都一样。 （因此，例如，击中条形图所有中点的 n 次多项式将不起作用。）此外，我希望 g 成为分段函数，所有部分都相对简单 - 二次最好，或正弦曲线。
总之：我希望 g 是每年定义的一系列抛物线，从一个抛物线平滑地过渡到另一个（g'(x) 的左右极限应该在年边界），并且每个抛物线下的面积等于我上面的数据给出的总数。
I've drawn a crude version of what I want here. 漫画使用了和上面相同的数据，黑色曲线代表我希望的函数，g。朝着正确的方向发展，事情变得特别糟糕，尤其是 1988 年和 1989 年。但这只是为了展示我希望最终得到的画面。
感谢您的帮助，或向我指出您认为可能有用的其他资源！
PS 我看过 this paper which is linked inside this question. 我同意作者的观点（见第 4 节），如果我可以使用矩阵 A 将我的数据替换为伪数据 d'，我可以从中非常简单地生成某种平滑函数，那会很棒，但他们没有说明如何获得 A。只是一些值得思考的东西。再次感谢！
PPS 我需要的是一种生成 g 的可靠方法，给定任何数据 table 如上所述。我实际上有数百种此类年度统计数据，因此我需要一个通用的解决方案。
如果您的目标是将离散数据转换为连续表示，我建议查找 Kernel Density Estimation. KDE essentially models each data point as a (usually) Gaussian distribution and sums up the distribution, resulting in a smooth continuous distribution. This blog 使用 SciPy 模块对 KDE 进行了非常彻底的处理。
KDE 的缺点之一是它不提供解析解决方案。如果那是您的目标，我建议您查找 polynomial regression.
您需要对曲线进行积分才能通过由累积总数定义的一组特定点，因此...
在累计总数之间插值得到积分曲线，然后
取它的导数得到你要找的函数。
因为你希望你的函数是 "continuous and smooth"，即 C1-连续的，你插值的积分曲线需要是 C2-连续的，即它必须有连续的一阶和二阶导数。可以使用多项式插值、sinc插值、足够次数的样条等
使用 "natural" 三次样条插值积分会给你一个 piece-wise 似乎满足你所有要求的二次导数。
这里对自然三次样条有很好的描述：http://mathworld.wolfram.com/CubicSpline.html
我是一名正在写论文的社会学博士生。在一些数据分析过程中，我遇到了以下问题。
我有一个 table 一些变量在一系列年份中的测量值。值很重要，"how many events of a certain type there are in a given year"? 下面是它的示例：
year var
1983 22
1984 55
1985 34
1986 29
1987 15
1988 20
1989 41
所以，例如1984年，全年共发生55起。
在 [1983、1990) 的实数域上表示此数据的一种方法是使用分段函数 f：
f(x) = var if floor(x) == year, for all x in [1983, 1990).
此函数绘制一系列宽度为 1 的水平线，绘制变量的条形图。每条线下的面积等于当年的变量值。但是，对于这个变量，我知道每年的比率在全年都不是恒定的。换句话说，事件不会在 12 月 31 日一夜之间突然从一个年率跳到另一个年率，因为（不连续）函数 f 似乎呈现。我不确切知道汇率如何变化，但我想假设年复一年地平稳过渡。
所以，我想要的是一个函数 g，它在域 [1983, 1990] 上既连续又平滑（连续可微），它还保留了每年的总数。 即g从1984年到1985年的定积分一定还是55，其他年份都一样。 （因此，例如，击中条形图所有中点的 n 次多项式将不起作用。）此外，我希望 g 成为分段函数，所有部分都相对简单 - 二次最好，或正弦曲线。
总之：我希望 g 是每年定义的一系列抛物线，从一个抛物线平滑地过渡到另一个（g'(x) 的左右极限应该在年边界），并且每个抛物线下的面积等于我上面的数据给出的总数。
I've drawn a crude version of what I want here. 漫画使用了和上面相同的数据，黑色曲线代表我希望的函数，g。朝着正确的方向发展，事情变得特别糟糕，尤其是 1988 年和 1989 年。但这只是为了展示我希望最终得到的画面。
感谢您的帮助，或向我指出您认为可能有用的其他资源！
PS 我看过 this paper which is linked inside this question. 我同意作者的观点（见第 4 节），如果我可以使用矩阵 A 将我的数据替换为伪数据 d'，我可以从中非常简单地生成某种平滑函数，那会很棒，但他们没有说明如何获得 A。只是一些值得思考的东西。再次感谢！
PPS 我需要的是一种生成 g 的可靠方法，给定任何数据 table 如上所述。我实际上有数百种此类年度统计数据，因此我需要一个通用的解决方案。
如果您的目标是将离散数据转换为连续表示，我建议查找 Kernel Density Estimation. KDE essentially models each data point as a (usually) Gaussian distribution and sums up the distribution, resulting in a smooth continuous distribution. This blog 使用 SciPy 模块对 KDE 进行了非常彻底的处理。
KDE 的缺点之一是它不提供解析解决方案。如果那是您的目标，我建议您查找 polynomial regression.
您需要对曲线进行积分才能通过由累积总数定义的一组特定点，因此...
在累计总数之间插值得到积分曲线，然后 取它的导数得到你要找的函数。
因为你希望你的函数是 "continuous and smooth"，即 C1-连续的，你插值的积分曲线需要是 C2-连续的，即它必须有连续的一阶和二阶导数。可以使用多项式插值、sinc插值、足够次数的样条等
使用 "natural" 三次样条插值积分会给你一个 piece-wise 似乎满足你所有要求的二次导数。
这里对自然三次样条有很好的描述：http://mathworld.wolfram.com/CubicSpline.html