计算无平方根的向量单位

Question

我需要计算任意向量的单位向量。线索是我不想引入浮点数错误，所以我用不起 sqrt() 函数。为了进行算术运算并且不引入浮点错误，我使用了 Rational 数据类型。

public class Vector3
{
    public Rational X { get; set; }
    public Rational Y { get; set; }
    public Rational Z { get; set; }

    public Vector3(Rational x, Rational y, Rational z)
    {
        X = x;
        Y = y;
        Z = z;
    }
    .....

我的矢量单位计算如下所示：

    public Vector3 Unit()
    {
        if (this.Length() == 0)
            return new Vector3(0, 0, 0);
        return this.DividedBy(this.Length());
    }

    public Rational Length()
    {
        return Sqrt(Dot(this).ToDouble());
    }

    public Rational Dot(Vector3 a)
    {
        return this.X * a.X + this.Y * a.Y + this.Z * a.Z;
    }

问题出在 Sqrt() 方法上，因为我必须将我的 Rational 转换为 double。此外，Sqrt() 生成无理数。所以我在 sqrt 函数的输入和输出中可能存在舍入误差。

所以我需要计算不带平方根的向量的长度。这可能吗？

Answer 1

抱歉，没有平方根是做不到的。您对舍入错误的担心被夸大了。

您可以通过这样的方式进行计算以尽量减少错误，例如（Java-ish 语法；JDK 中没有这样的 Math.max，但您得到想法）：

public double magnitude(double x, double y, double z) {
    double maxComponent = Math.max(Math.abs(x), Math.abs(y), Math.abs(z));
    double rx = x/maxComponent;
    double ry = y/maxComponent;
    double rz = z/maxComponent;
    return maxComponent*Math.sqrt(rx*rx + ry*ry + rz*rz);
}

Answer 2

如果您要解决的问题对浮点错误非常敏感（我之前处理过一些），您是否可以指定您愿意接受的容忍度？例如设置为输入数据集的精度？

假设这是可能的，我的建议是将 sqrt(x) 调用替换为已知在一定公差范围内准确的近似值。

例如，您可以将其近似为求根问题 X^2 - S = 0 的解。鉴于该函数严格递增并且在正半平面上表现良好，您可以实现说二分法或 Newton-Raphson 法并根据公差终止它。

即使它不能解决您的问题，也希望您觉得它有用。

Answer 3

不幸的是，您不能在这里做您想做的事，因为平方根通常（而且众所周知）是无理数。

如果您想坚持精确算术，您可以通过将高阶值保持原样，在一种扩展的有理数据结构中来处理它——一种代数几何的东西。此路径有其局限性，因为结果的多项式顺序通常是参数顺序的总和...

我认为 CGAL 提供了类似这样的选项。无论如何，如果您对几何数学感兴趣，但担心浮点数错误，那么看看 CGAL 应该是一种教育。

Answer 4

有时可以删除 sqrt:

对于通常需要单位向量的向量函数，您有时可以通过一些巧妙的数学运算来绕过 sqrt。矢量投影就是一个很好的例子。

用 sqrt 将向量 a 投影到向量 b 上：

(a / sqrt( 点( b, b ) ) * b

在没有 sqrt 的情况下将向量 a 投影到向量 b 上：

( 点( a, b ) / 点( b, b ) ) * b

额外的点 (a,b) 消除了对 sqrt 的需要。但是确实需要 3 次乘法和 2 次加法（对于向量 3），所以它不是免费的。

计算无平方根的向量单位

Calculate vector unit without square root

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trigonometry

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