射线球相交推导

Question

我正在尝试编写一个函数，如果光线与球体相交并且我引用的代码如下所示，returns 为真：

// given Sphere and Ray as arguments
invert the Sphere matrix
make new Ray object 
  origin of this object = old Ray origin * inverted Sphere matrix
  direction = old Ray direction * inverted Sphere matrix
a = |new direction| ^ 2
b = dot product of new origin and new direction
c = |new origin| ^ 2 - 1

det = b*b - a*c
if det > 0 there is an intersection

我一直在理解为什么我们需要先反转 Sphere 矩阵，然后将其乘以 Ray 的原点和方向。我也很困惑如何推导二次方程变量 a、b 和 c 以及结尾。我知道我必须结合射线 (p + td) 和圆 (x dot x - 1 = 0) 的参数方程，但我不知道该怎么做。

Answer 1

您需要反转球体矩阵以使光线在球体的坐标系中，如果球体未缩放，则与简单设置 new_origin = 原点 - sphere_center 相同（并使用原来的方向）该等式由以下公式构成：

|new_dir*t + new_origin|^2 = r^2 (presumably r is 1)

展开后得到：

|new_dir|^2*t^2 + 2*(new_origin·new_dir)*t + |new_origin|^2-r^2 = 0

射线球相交推导

Ray-Sphere Intersection Derivation

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