我们能否证明找到 (1-D) 最近对必须至少为 n log n？
Can we show that finding the (1-D) closest pair has to be at least n log n?
我们如何证明仅使用比较方法，一维最接近对是 Ω(n log n)？我认为唯一合理的方法是以某种方式显示与排序的等价性，但我看不出如何。有人可以阐明这一点吗？在这个问题中，假设列表只包含不同的元素。
您想要 linear decision tree model 的下限，因为没有任何算法只比较点而不减去距离来计算距离。在这个模型中获得下界的经典方法是表明线性决策树必须至少有一定数量的叶子，给定二元分支，这意味着最小高度。
线性测试的相关 属性 是，如果两个输入（即 n 维向量）导致相同的决策树结果，那么连接它们的线段上的所有输入也会如此。
考虑确定最近对的距离是否小于 1 的更简单的问题。我声称整数 1..n 的所有排列必须在不同的决策树叶子中结束。否则，请考虑在同一叶中结束的两个排列。由于排列不同，因此存在 i 和 j，使得第 i 个和第 j 个条目在两个排列中比较不同。根据中间值定理，这意味着存在一个中间输入，其中它们的距离小于 1，这是不可能的，因为最终在叶子中的所有东西都必须具有最小距离 1.
至少n！叶子，树的高度必须至少为 lg n！ = Omega(n log n).
请参阅 http://otfried.org/courses/cs493fall2012/algebraic-tree.pdf 以及许多其他讲义集以获取更长的文章；这是计算几何课程中的标准主题。
我们如何证明仅使用比较方法，一维最接近对是 Ω(n log n)？我认为唯一合理的方法是以某种方式显示与排序的等价性，但我看不出如何。有人可以阐明这一点吗？在这个问题中，假设列表只包含不同的元素。
您想要 linear decision tree model 的下限，因为没有任何算法只比较点而不减去距离来计算距离。在这个模型中获得下界的经典方法是表明线性决策树必须至少有一定数量的叶子，给定二元分支，这意味着最小高度。
线性测试的相关 属性 是，如果两个输入（即 n 维向量）导致相同的决策树结果，那么连接它们的线段上的所有输入也会如此。
考虑确定最近对的距离是否小于 1 的更简单的问题。我声称整数 1..n 的所有排列必须在不同的决策树叶子中结束。否则，请考虑在同一叶中结束的两个排列。由于排列不同，因此存在 i 和 j，使得第 i 个和第 j 个条目在两个排列中比较不同。根据中间值定理，这意味着存在一个中间输入，其中它们的距离小于 1，这是不可能的，因为最终在叶子中的所有东西都必须具有最小距离 1.
至少n！叶子，树的高度必须至少为 lg n！ = Omega(n log n).
请参阅 http://otfried.org/courses/cs493fall2012/algebraic-tree.pdf 以及许多其他讲义集以获取更长的文章；这是计算几何课程中的标准主题。