为什么我的次阶乘函数差了一个？

Question

我正致力于在 JavaScript 中实现一个次因子函数来计算 n 元素可能出现的紊乱总数，但我似乎搞砸了。我的计算好像总是高一，或者低一。我搞砸了什么？这是一个舍入错误吗？

function subfactorial (x) {
  x = parseInt(x);
  var i;
  var sub = 0;
  var sum = 0;
  sum += factorial(x);
  for (i = 0; i < x; i++) {
    sub += (Math.pow(-1, i)/factorial(i));
  }
  return sum * sub;
}

function factorial (y) {
  var negative = y < 0;
  y = parseInt(Math.abs(y)); // Ints only
  var acc = 1;
  for (y; y > 0; y--) {
    acc *= y;
  }
  return negative ? -acc : acc;
}

function getSubfactorial () {
  var val = document.getElementById('subfac').value;
  document.getElementById('result').innerHTML = subfactorial(val);
}

<label for="subfac">Subfactorial input:</label>
<input type="number" id="subfac">
<button type="button" onClick="getSubfactorial()">Get Subfactorial</button>
<div id="result"></div>

例如subfactorial(3) returns3，当答案应该是2。subfactorial(4) returns8，当答案应该是9。subfactorial(5) returns 45（带有浮点舍入误差）当答案应该是 44 时，依此类推。它似乎分别在偶数和奇数之间交替出现太低和太高。

我使用的公式是这样的：

在 TeX 中：

!x = x! \sum_{k=0}^{x}\frac {(-1)^k}{k!}

渲染的 TeX:

Answer 1

总和从 x=0 到包含 x。改变for循环

的退出条件

function subfactorial (x) {
  x = parseInt(x);
  var i;
  var sub = 0;
  var sum = 0;
  sum += factorial(x);
  for (i = 0; i <= x; i++) {
    sub += (Math.pow(-1, i)/factorial(i));
  }
  return sum * sub;
}

function factorial (y) {
  var negative = y < 0;
  y = parseInt(Math.abs(y)); // Ints only
  var acc = 1;
  for (y; y > 0; y--) {
    acc *= y;
  }
  return negative ? -acc : acc;
}

function getSubfactorial () {
  var val = document.getElementById('subfac').value;
  document.getElementById('result').innerHTML = subfactorial(val);
}

<label for="subfac">Subfactorial input:</label>
<input type="number" id="subfac">
<button type="button" onClick="getSubfactorial()">Get Subfactorial</button>
<div id="result"></div>

Answer 2

你会笑的：

for (i = 0; i < x; i++) {

这不是 Sum 符号的意思。应该是

for (i = 0; i <= x; i++) {

此外，这是实现次因子的最直观的方式。求幂只是表示 "oscillate between positive and negative one" 的一种方式——但在 Javascript 中，大约有 10 种更好的方式来表示。并且没有理由使用（或担心）浮点数。而不是计算 1/k！然后乘以x!，计算出x!/k!，可以这样

var factDiv = function(x, k) {
  return (k >= x) ? 1 : (x * factDiv(x-1,k)); 
}

然后subfactorial()可以定义为

var subfactorial = x => {
  var p = 1;
  var sum = 0;
  for (var k=0; k <= x; k++) {
    sum += p * factDiv(x, k);
    p *= -1;
  }
  return sum;
}

Answer 3

这似乎可以解决问题。

for (i = 0; i <= x; i++) {
    sub += (Math.pow(-1, i)/factorial(i));
}

将循环更改为 i <= x。不过仍然存在一些舍入问题。可能是 javascript 的事情。看起来它现在得到了正确的数字。

为什么我的次阶乘函数差了一个？

Why is my subfactorial function off by one?

javascript

math

combinatorics