给定两种原始松弛形式均可行的线性规划的最优解
Optimal solution for linear program given that both primal slack forms are feasible
我得到了一个标准形式的线性程序 P。
我需要证明如果P的原始松弛形式和对偶问题的原始松弛形式都是可行的，那么P的最优解是0。
我曾尝试使用 Weak Duality theorem，但无法进行数学运算。
如有任何帮助，我们将不胜感激。
根据对偶定理，如果一个原始问题有一个最优解 (x*1,….x*n)，那么对偶问题有一个最优解 (y*1,….y*m) 使得原始形式的程序的所有可行解都从上方受对偶程序的可行解限制，我们可以说相反的情况也成立，对偶的可行解从下方受原始形式的可行解限制，这意味着如果两者有相同的解则为线性规划的最优解。
简而言之，最优解从下方受原程序的可行解约束，从上方受对偶程序的可行解约束。
在这种情况下，给出了程序的原始和对偶基本松弛形式都是可行的，这意味着松弛形式的基本解是可行解。基本松弛形式的可行解为 0（记住我们在求解基本解时将所有非基本变量设置为零）。因此我们知道对于对偶规划和原始规划 0 都是一个可行解，因此从对偶性我们知道 0 是线性规划的最优解。
我们可以通过否定来证明这一点。取一些非零数 k 和一些非零数 j，使得 k 是线性规划原始形式的可行解，j 是线性规划对偶形式的可行解。线性规划的最优解出现在 j=k 时。让我们证明对于 0 以外的任何数字都不会发生这种情况。
对于原始规划的任何可行解 k，我们知道它受对偶规划的所有可行解的约束。既然我们知道这样一个解是 0，那么对偶规划的基本松弛形式是可行的，那么我们就知道 k 一定是一个非正数。
对于对偶规划的任何可行解 j，我们知道它受原规划所有可行解的约束。既然我们知道这样的一个解是 0，既然原始规划的基本松弛形式是可行的，那么我们就知道 j 一定是一个非负数。
证明了对偶 j 的任何可行解都是非负的，并且原始 k 的任何可行解都是非正的，我们看到非零数的 j=k 是一个矛盾。
唯一可能得到j=k的数是0，因此是最优解。
我得到了一个标准形式的线性程序 P。
我需要证明如果P的原始松弛形式和对偶问题的原始松弛形式都是可行的，那么P的最优解是0。
我曾尝试使用 Weak Duality theorem，但无法进行数学运算。
如有任何帮助，我们将不胜感激。
根据对偶定理，如果一个原始问题有一个最优解 (x*1,….x*n)，那么对偶问题有一个最优解 (y*1,….y*m) 使得原始形式的程序的所有可行解都从上方受对偶程序的可行解限制，我们可以说相反的情况也成立，对偶的可行解从下方受原始形式的可行解限制，这意味着如果两者有相同的解则为线性规划的最优解。
简而言之，最优解从下方受原程序的可行解约束，从上方受对偶程序的可行解约束。
在这种情况下，给出了程序的原始和对偶基本松弛形式都是可行的，这意味着松弛形式的基本解是可行解。基本松弛形式的可行解为 0（记住我们在求解基本解时将所有非基本变量设置为零）。因此我们知道对于对偶规划和原始规划 0 都是一个可行解，因此从对偶性我们知道 0 是线性规划的最优解。
我们可以通过否定来证明这一点。取一些非零数 k 和一些非零数 j，使得 k 是线性规划原始形式的可行解，j 是线性规划对偶形式的可行解。线性规划的最优解出现在 j=k 时。让我们证明对于 0 以外的任何数字都不会发生这种情况。
对于原始规划的任何可行解 k，我们知道它受对偶规划的所有可行解的约束。既然我们知道这样一个解是 0，那么对偶规划的基本松弛形式是可行的，那么我们就知道 k 一定是一个非正数。 对于对偶规划的任何可行解 j，我们知道它受原规划所有可行解的约束。既然我们知道这样的一个解是 0，既然原始规划的基本松弛形式是可行的，那么我们就知道 j 一定是一个非负数。
证明了对偶 j 的任何可行解都是非负的，并且原始 k 的任何可行解都是非正的，我们看到非零数的 j=k 是一个矛盾。 唯一可能得到j=k的数是0，因此是最优解。