使用 3 个位置和法线进行光线追踪的内插三角形表面的最佳方法
Best way to interpolate triangle surface using 3 positions and normals for ray tracing
我正在研究传统的 Whitted 光线追踪，并尝试对命中三角形的表面进行插值，就好像它是凸面而不是平坦面一样。
这个想法是一旦已知命中点p的重心坐标(u,v)，就将三角形视为参数曲面s(u,v)。
这个表面方程应该使用三角形的位置 p0, p1, p2 和法线 n0, n1, n2 来计算。
生命值本身计算为
p = (1-u-v)*p0 + u*p1 + v*p2;
到目前为止，我已经找到了三种不同的解决方案。
解法1.投影
我想到的第一个解决方案。就是将命中点投影到通过每个顶点p0, p1, p2垂直于相应法线的平面上，然后对结果进行插值。
vec3 r0 = p0 + dot( p0 - p, n0 ) * n0;
vec3 r1 = p1 + dot( p1 - p, n1 ) * n1;
vec3 r2 = p2 + dot( p2 - p, n2 ) * n2;
p = (1-u-v)*r0 + u*r1 + v*r2;
解法二.曲率
在 Takashi Nagata 的论文中提出 "Simple local interpolation of surfaces using normal vectors" 并在问题中进行了讨论 "Local interpolation of surfaces using normal vectors"，但它似乎过于复杂并且对于实时光线追踪来说不是很快（除非您预先计算所有必要的系数).这里的三角形作为二阶曲面处理。
解法3.贝塞尔曲线
此解决方案的灵感来自 Brett Hale 的回答。在我的例子中，它是关于使用高阶三次贝塞尔曲线的一些插值。
例如，对于边 p0p1 贝塞尔曲线应该看起来像
B(t) = (1-t)^3*p0 + 3(1-t)^2*t*(p0+n0*adj) + 3*(1-t)*t^2*(p1+n1*adj) + t^3*p1,
其中 adj 是一些调整参数。
计算边 p0p1 和 p0p2 的贝塞尔曲线并对它们进行插值得到最终代码：
float u1 = 1 - u;
float v1 = 1 - v;
vec3 b1 = u1*u1*(3-2*u1)*p0 + u*u*(3-2*u)*p1 + 3*u*u1*(u1*n0 + u*n1)*adj;
vec3 b2 = v1*v1*(3-2*v1)*p0 + v*v*(3-2*v)*p2 + 3*v*v1*(v1*n0 + v*n2)*adj;
float w = abs(u-v) < 0.0001 ? 0.5 : ( 1 + (u-v)/(u+v) ) * 0.5;
p = (1-w)*b1 + w*b2;
或者，可以在三个边之间进行插值：
float u1 = 1.0 - u;
float v1 = 1.0 - v;
float w = abs(u-v) < 0.0001 ? 0.5 : ( 1 + (u-v)/(u+v) ) * 0.5;
float w1 = 1.0 - w;
vec3 b1 = u1*u1*(3-2*u1)*p0 + u*u*(3-2*u)*p1 + 3*u*u1*( u1*n0 + u*n1 )*adj;
vec3 b2 = v1*v1*(3-2*v1)*p0 + v*v*(3-2*v)*p2 + 3*v*v1*( v1*n0 + v*n2 )*adj;
vec3 b0 = w1*w1*(3-2*w1)*p1 + w*w*(3-2*w)*p2 + 3*w*w1*( w1*n1 + w*n2 )*adj;
p = (1-u-v)*b0 + u*b1 + v*b2;
也许我在上面的代码中搞砸了一些东西，但是这个选项在着色器中似乎不是很稳健。
P.S. 目的是在从低多边形模型投射阴影光线时获得更正确的阴影光线来源。 Here 您可以从测试场景中找到结果图像。白色的大数字表示解决方案的数量（原始图像为零）。
P.P.S.我仍然想知道是否有另一种有效的解决方案可以提供更好的结果。
保留三角形 'flat' 有很多好处，可以简化渲染过程中所需的几个阶段。另一方面，逼近高阶曲面会引入相当大的跟踪开销，并且需要调整 BVH 结构。
另一方面，当几何体被视为面的集合时，着色信息仍然可以被插值以实现平滑的着色，同时仍然非常有效地处理。
有近似极限曲面的自适应细分技术（OpenSubdiv is a great example). Pixar's Photorealistic RenderMan 使用细分曲面的历史很长。当他们将渲染算法切换为路径跟踪时，他们还为细分引入了预细分步骤表面。这个阶段在渲染开始之前执行，并建立一个自适应的极限表面三角近似。这似乎更有效地追踪并且倾向于使用更少的资源，特别是对于这个行业使用的高质量资产。
所以，回答你的问题。我认为实现您所追求的目标的最有效方法是使用自适应细分方案，该方案吐出三角形而不是追踪高阶曲面。
Dan Sunday 描述了一个 algorithm，它在计算出射线平面交点后计算三角形上的重心坐标。如果：
，则该点位于三角形内
(s >= 0) && (t >= 0) && (s + t <= 1)
然后您可以使用 n(s, t) = nu * s + nv * t + nw * (1 - s - t) 来插入法线以及交点，尽管 n(s, t) 通常不会被归一化，即使 [=13] =] 是。您可能会发现需要更高阶的插值。 PN-triangles 是为了视觉吸引力而不是数学精度而进行的类似黑客攻击。例如，真正的有理二次贝塞尔三角形可以描述圆锥曲线。
我正在研究传统的 Whitted 光线追踪，并尝试对命中三角形的表面进行插值，就好像它是凸面而不是平坦面一样。
这个想法是一旦已知命中点p的重心坐标(u,v)，就将三角形视为参数曲面s(u,v)。
这个表面方程应该使用三角形的位置 p0, p1, p2 和法线 n0, n1, n2 来计算。
生命值本身计算为
p = (1-u-v)*p0 + u*p1 + v*p2;
到目前为止，我已经找到了三种不同的解决方案。
解法1.投影
我想到的第一个解决方案。就是将命中点投影到通过每个顶点p0, p1, p2垂直于相应法线的平面上，然后对结果进行插值。
vec3 r0 = p0 + dot( p0 - p, n0 ) * n0;
vec3 r1 = p1 + dot( p1 - p, n1 ) * n1;
vec3 r2 = p2 + dot( p2 - p, n2 ) * n2;
p = (1-u-v)*r0 + u*r1 + v*r2;
解法二.曲率
在 Takashi Nagata 的论文中提出 "Simple local interpolation of surfaces using normal vectors" 并在问题中进行了讨论 "Local interpolation of surfaces using normal vectors"，但它似乎过于复杂并且对于实时光线追踪来说不是很快（除非您预先计算所有必要的系数).这里的三角形作为二阶曲面处理。
解法3.贝塞尔曲线
此解决方案的灵感来自 Brett Hale 的回答。在我的例子中，它是关于使用高阶三次贝塞尔曲线的一些插值。
例如，对于边 p0p1 贝塞尔曲线应该看起来像
B(t) = (1-t)^3*p0 + 3(1-t)^2*t*(p0+n0*adj) + 3*(1-t)*t^2*(p1+n1*adj) + t^3*p1,
其中 adj 是一些调整参数。
计算边 p0p1 和 p0p2 的贝塞尔曲线并对它们进行插值得到最终代码：
float u1 = 1 - u;
float v1 = 1 - v;
vec3 b1 = u1*u1*(3-2*u1)*p0 + u*u*(3-2*u)*p1 + 3*u*u1*(u1*n0 + u*n1)*adj;
vec3 b2 = v1*v1*(3-2*v1)*p0 + v*v*(3-2*v)*p2 + 3*v*v1*(v1*n0 + v*n2)*adj;
float w = abs(u-v) < 0.0001 ? 0.5 : ( 1 + (u-v)/(u+v) ) * 0.5;
p = (1-w)*b1 + w*b2;
或者，可以在三个边之间进行插值：
float u1 = 1.0 - u;
float v1 = 1.0 - v;
float w = abs(u-v) < 0.0001 ? 0.5 : ( 1 + (u-v)/(u+v) ) * 0.5;
float w1 = 1.0 - w;
vec3 b1 = u1*u1*(3-2*u1)*p0 + u*u*(3-2*u)*p1 + 3*u*u1*( u1*n0 + u*n1 )*adj;
vec3 b2 = v1*v1*(3-2*v1)*p0 + v*v*(3-2*v)*p2 + 3*v*v1*( v1*n0 + v*n2 )*adj;
vec3 b0 = w1*w1*(3-2*w1)*p1 + w*w*(3-2*w)*p2 + 3*w*w1*( w1*n1 + w*n2 )*adj;
p = (1-u-v)*b0 + u*b1 + v*b2;
也许我在上面的代码中搞砸了一些东西，但是这个选项在着色器中似乎不是很稳健。
P.S. 目的是在从低多边形模型投射阴影光线时获得更正确的阴影光线来源。 Here 您可以从测试场景中找到结果图像。白色的大数字表示解决方案的数量（原始图像为零）。
P.P.S.我仍然想知道是否有另一种有效的解决方案可以提供更好的结果。
保留三角形 'flat' 有很多好处，可以简化渲染过程中所需的几个阶段。另一方面，逼近高阶曲面会引入相当大的跟踪开销，并且需要调整 BVH 结构。
另一方面，当几何体被视为面的集合时，着色信息仍然可以被插值以实现平滑的着色，同时仍然非常有效地处理。
有近似极限曲面的自适应细分技术（OpenSubdiv is a great example). Pixar's Photorealistic RenderMan 使用细分曲面的历史很长。当他们将渲染算法切换为路径跟踪时，他们还为细分引入了预细分步骤表面。这个阶段在渲染开始之前执行，并建立一个自适应的极限表面三角近似。这似乎更有效地追踪并且倾向于使用更少的资源，特别是对于这个行业使用的高质量资产。
所以，回答你的问题。我认为实现您所追求的目标的最有效方法是使用自适应细分方案，该方案吐出三角形而不是追踪高阶曲面。
Dan Sunday 描述了一个 algorithm，它在计算出射线平面交点后计算三角形上的重心坐标。如果：
，则该点位于三角形内
(s >= 0) && (t >= 0) && (s + t <= 1)
然后您可以使用 n(s, t) = nu * s + nv * t + nw * (1 - s - t) 来插入法线以及交点，尽管 n(s, t) 通常不会被归一化，即使 [=13] =] 是。您可能会发现需要更高阶的插值。 PN-triangles 是为了视觉吸引力而不是数学精度而进行的类似黑客攻击。例如，真正的有理二次贝塞尔三角形可以描述圆锥曲线。