给定分位数信息确定正态分布

Question

我想知道如何让 R 告诉我 SD（作为 R 内置的 qnorm() 中的参数）对于已知 95% 极限值的正态分布？

举个例子，我知道正常值的两个 95% 极限值分别是 158 和 168。所以，在下面的R代码 SD中显示为"x"。 If "y"（这个简单的qnorm()函数的答案）需要是(158, 168), 然后 R 能告诉我 x 应该是什么吗？

y <- qnorm(c(.025,.975), 163, x)

Answer 1

正态分布的一般程序

假设我们有一个正态分布 X ~ N(mu, sigma)，均值未知 mu，标准差未知 sigma。我们的目标是求解 mu 和 sigma，给定两个分位数方程：

Pr(X < q1) = alpha1
Pr(X < q2) = alpha2

我们考虑标准化：Z = (X - mu) / sigma，因此

Pr(Z < (q1 - mu) / sigma) = alpha1
Pr(Z < (q2 - mu) / sigma) = alpha2

换句话说，

(q1 - mu) / sigma = qnorm(alpha1)
(q2 - mu) / sigma = qnorm(alpha2)

RHS 明确已知，我们定义beta1 = qnorm(alpha1)、beta2 = qnorm(alpha2)。现在，以上简化为 2 个线性方程组：

mu + beta1 * sigma = q1
mu + beta2 * sigma = q2

这个系统有系数矩阵：

1  beta1
1  beta2

行列式 beta2 - beta1。奇点的唯一情况是 beta2 = beta1。只要系统是非奇异的，我们就可以用solve来求解mu和sigma.

想一想奇点的情况意味着什么。 qnorm 对于正态分布是严格单调的。所以 beta1 = beta2 与 alpha1 = alpha2 相同。但这很容易避免，因为它在您的规范下，所以在下文中我不会检查奇异性。

将以上总结成一个估计函数：

est <- function(q, alpha) {
  beta <- qnorm(alpha)
  setNames(solve(cbind(1, beta), q), c("mu", "sigma"))
  }

我们来做个测试：

x <- est(c(158, 168), c(0.025, 0.975))
#        mu      sigma 
#163.000000   2.551067 

## verification
qnorm(c(0.025, 0.975), x[1], x[2])
# [1] 158 168

我们也可以随心所欲：

x <- est(c(1, 5), c(0.1, 0.4))
#      mu    sigma 
#5.985590 3.890277 

## verification
qnorm(c(0.1, 0.4), x[1], x[2])
# [1] 1 5

给定分位数信息确定正态分布

Determine a normal distribution given its quantile information

statistics

r

normal-distribution

quantile

正态分布的一般程序