在 MATLAB 中定义和求解嵌套非线性 ODE

Question

我得到了 y'' = -g + a(t)/m 和 a(t) = k*y'^2 的微分方程，其中 y 是 t（时间）的函数。我的初始条件是 y(0) = 600; 和 y'(0) = 0;

在 MATLAB 中我知道如何定义 y'' 和

ydd = diff(y,t,2) == -g + a(t)/m;

但我不知道这是一个 'nested' 非线性微分方程，我不太确定如何定义它，更不用说在 MATLAB 中求解它了。

Answer 1

这是两个耦合的一阶 ODE。

让z = y'。那么你有：

z' = -g + a(t)/m
y' = sqrt(a(t)/k)

您需要初始条件 y(0)=600 和 z(0)=0。

等式 z(0)=0 意味着 a(0)/m = g。求解 a(0) = gm.

这些是您需要求解的方程式。

Answer 2

更好的一阶系统是

v' = -g + k/m*v^2
y' = v

因为不再涉及第三个未知函数 a(t)。

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挑战：通过变量分离和部分分数分解手动求解第一个方程，或将面积正切双曲线的缩放确定为 v 侧边的积分。