将 3D 中的元素映射 "triangle" 到线性结构

Question

这是现有 question 的 3D 版本。

形状为 (n,n,n) 的 3D 数组 M[x,y,z] 应映射到仅包含 x<=y<=z 元素的平面向量，以便保存 space。所以我需要的是类似于二维情况的表达式（index := x + (y+1)*y/2）。我试图推导一些公式，但就是做不对。请注意，向量中的元素顺序无关紧要。

Answer 1

等式的 3D 版本是

index := (z * (z+1) * (z+2)) / 6 + (y * (y+1))/2 + x

Answer 2

这是 user3386109 的答案的扩展，用于将形状为 (n,...,n) 的任意维度 d 的数组映射到大小为 size(d,n) 的向量，该向量仅包含其索引满足 X_1 <= X_2 <= ... <= X_d.

Answer 3

如果有人感兴趣，这里是@letmaik 在python 中回答的代码：

import math
from itertools import combinations_with_replacement

import numpy as np

ndim = 3  # The one you'd like
size = 4  # The size you'd like
array = np.ones([size for _ in range(ndim)]) * -1
indexes = combinations_with_replacement([n for n in range(size)], ndim)


def index(*args):
    acc = []
    for idx, val in enumerate(args):
        rx = np.prod([val + i for i in range(idx + 1)])
        acc.append(rx / math.factorial(idx + 1))
    return sum(acc)


for args in indexes:
    array[args] = index(*args)


print(array)

虽然我必须承认它可以改进，因为元素的顺序看起来不自然。

将 3D 中的元素映射 "triangle" 到线性结构

Mapping elements in 3D lower "triangle" to linear structure

arrays

algorithm

indexing

matrix