如何将 -1 / (-343)^(1/3) 计算为 Python 中的 1/7？

Question

我喜欢将 Python 纳入我对功能的探索中，但是我遇到了这些评估中我没有预料到或不想要的行为。

>>> def h(x):
...     return -1 / x**(1/3)
...
>>> h(-343)
(-0.07142857142857145 + 0.12371791482634838j)

我想要以下函数的真反函数：

>>> def f(x):
...     return x**3
...
>>> f(-7)
-343

这样：

>>> def h(x):
...     return -1/inverse_f(x)
...
>>> h(-343)
0.14285714285714285

是否有 Pythonic 方法来实现此行为？

Answer 1

如果您只想在整数中工作（并忽略函数的复杂解决方案），这可能是一种方法。至少对于标题中的示例，它可以满足您的要求。（所以这只解决了你的问题的标题；因为其余部分现在已经改变了，所以它不会帮助...... Nayuki's answer 会）

gmpy2 有一个 iroot 方法：

import gmpy2
print(gmpy2.iroot(343, 3))  # -> (mpz(7), True)

从那里开始，您应该能够组合您的功能。

import gmpy2
from fractions import Fraction

def h(x):
    sign = 1 if x >= 0 else -1
    root, is_int = gmpy2.iroot(abs(x), 3)
    if not is_int:
        return None  # the result is not an integer
    root = int(root)
    return -sign * Fraction(1, root)

print(h(-343))  # -> 1/7

反之：

def g(x):
    return -Fraction(1, x**3)

print(g(h(-343)))  # -> -343

Answer 2

你遇到了问题，因为负数的分数次幂可以是 complex number。

解决方案是应用数学恒等式。我们知道如果x是负数，那么x^1/3等于-((- x)^1/3)。也就是说，我们把x变成一个正数，取立方根，再取反。这是执行此操作的 Python 代码：

def h(x):
    if x >= 0:
        return -1.0 / x**(1.0/3.0)
    else:  # x < 0
        return -h(-x)

为了首先解释您遇到问题的原因，查看 x**y（幂运算符）的实现会有所帮助。关键的数学恒等式是 x^y = exp(log(x) · y).这个恒等式使得处理幂更容易，因为指数被视为一个常规数字，不需要分析（它是整数吗？是分数吗？是负数吗？等等）。

当x为正数时，log(x)为实数。只要 y 也是实数，exp(log(x) · y) 就会是一个实数。

但当x为负数时，log(x)为复数。具体来说，它等于 [log(-x) + π · i]。当我们将这样一个复数乘以 y 然后应用 exp() 时，结果通常是一个复数 - 这不是您所希望的。

如何将 -1 / (-343)^(1/3) 计算为 Python 中的 1/7？

How to compute -1 / (-343)^(1/3) as 1/7 in Python?

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exponentiation