分解二维变换矩阵

Decompose 2D Transformation Matrix

因此，我有一个 Direct2D Matrix3x2F 用于存储几何变换。我希望这些转换是用户可编辑的，我不希望用户必须直接编辑矩阵。是否可以将 3x2 矩阵分解为缩放、旋转、倾斜和平移？

将主要转换存储在具有可编辑属性的class中

   scaling
   rotation
   skewing
   translation

然后从中构建最终的变换矩阵。那样会更容易。但是，如果您必须有分解矩阵的算法。它们并不像你想象的那么简单。

System.Numerics有分解3D变换矩阵的方法

https://github.com/dotnet/corefx/blob/master/src/System.Numerics.Vectors/src/System/Numerics/Matrix4x4.cs#L1497

分解

是的，你可以（至少部分）。 3x2 变换矩阵表示没有投影的 2D 齐次 3x3 变换矩阵。这样的变换矩阵要么是 OpenGL 风格：
```
| Xx Yx Ox |
| Xy Yy Oy |
```
或DirectX风格：
```
| Xx Xy |
| Yx Yy |
| Ox Oy |
```
当你标记 Direct2D 并使用 3x2 矩阵时，第二个就是你得到的那个。有 3 个向量：

X=(Xx,Xy)X轴矢量
Y=(Yx,Yy) Y 轴矢量
O=(Ox,Oy) 坐标系原点。

现在假设不存在偏斜并且矩阵是正交...
缩放

非常简单，只需获取轴基向量长度即可。
```
scalex = sqrt( Xx^2 + Xy^2 );
scaley = sqrt( Yx^2 + Yy^2 );
```
是比例系数是 >1 矩阵放大，如果 <1 缩小。
旋转

您可以使用：
```
rotation_ang=atan2(Xy,Yx);
```
翻译

偏移量是 O，因此如果它不为零，则表示存在翻译。
倾斜

在 2D 中，偏斜不会使事情过于复杂，上面的要点仍然适用（3D 情况并非如此）。倾斜角度是轴之间的角度减去 90 度，所以：
```
skew_angle = acos((X.Y)/(|X|.|Y|)) - 0.5*PI;
skew_angle = acos((Xx*Yx + Xy*Yy)/sqrt(( Xx^2 + Xy^2 )*( Yx^2 + Yy^2 ))) - 0.5*PI;
```

另请注意，如果您的变换矩阵不代表您的坐标系而是它的逆矩阵，那么您需要在应用此矩阵之前对您的矩阵求逆...

所以计算第一个逆：

| Xx Xy 0 |
| Yx Yy 0 |
| Ox Oy 1 |

并对结果应用上述方法。

有关此主题的更多信息，请参阅：

特别是列主要顺序和行主要顺序之间的区别（OpenGL vs. DirectX 表示法）

这是我为 Direct2D 转换矩阵找到的解决方案：

比例 x = sqrt(M11 * M11 + M12 * M12)
缩放 y = sqrt(M21 * M21 + M22 * M22) * cos(shear)
旋转=atan2(M12, M11)
剪切 (y) = atan2(M22, M21) - PI/2 - rotation
翻译 x = M31
翻译y=M32

如果您按 scale(x, y) * skew(0, shear) * rotate(angle) * translate(x, y) 的顺序将这些值相乘，您将得到一个执行等效变换的矩阵。