fftw 计算来自 r2c（实数到复数）数据的分析信号
fftw computing analytic signal from r2c (real to complex) data
我有一个真实信号，我想对其进行傅立叶变换，计算频域中的解析信号，然后再变换回来。
的问题
fftw_plan fftw_plan_dft_r2c_1d(int n, double *in, fftw_complex *out,
unsigned flags);
是它只有正频率分量，而我需要将负频率分量归零（fftw_complex(f)=0 for f < 0）。
明显的解决方案是零填充 fftw_complex 并从复数转换回复数，但是，出于性能/内存原因，我想避免这种情况。
所以目的是优化对应于真实信号u()的analytic signal的计算。正如您所写，显而易见的解决方案包括：
- 使用 r2c FFTW 函数计算前向实数到复数 DFT。不计算对应于负频率的傅里叶系数，因为它们是对应于正频率的傅里叶系数的复共轭。
- 用零填充复数数组，以便将所有负频率归零。
- 使用 c2c FFTW 计算复数到复数的反向 DFT 以获得复数分析信号。
首先，由于u()的解析信号在时域上很复杂，它是u()的两倍大，节省内存会很困难。由于解析信号的实部已知（即 u() 本身）， 计算解析信号严格等效于将 Hilbert tranform 应用于 u()，因为它的结果是分析信号的虚部。
使用FFTW应用希尔伯特变换，请参考[1]中的算法：
- 应用 r2c FFTW 变换。
- 对于所有（即正）频率，切换实部和复数部分。切换时采取相反的方式。这归结为将每个复数系数乘以 -j，其中 j^2=-1.
- 应用 c2r FFTW 变换。得到的实数数组是分析信号的虚部。
因此，分析信号的虚部可以通过使用c2r变换而不是c2c变换来计算。然而，虚部是作为第二个获得的array: 数组必须被压缩以获得与第一种方法完全相同的结果。使用 advanced real-data dfts 和步长 2 可以帮助删除该操作。
更进一步，仍然在[1]中，可以注意到在频域中乘以-j.sign(w)对应于时域中的卷积（参见Discrete Hilbert transform） .离散卷积核h是-j.sign(w)的反向DFT。结果，它写道：
如果 n 是偶数，索引 k>0 严格低于 n/2 对应于正频率，索引 n/2 必须沉默，因为它对应于 n/2 和 -n/2 高于 n/2 的频率和索引对应负频率。索引 0 可以被静音。结果，总和写道：
几何序列轻松相加，神奇运行：卷积核h的偶数项全部为空！
i%2==0 => h_i=0
（在 2017/09/21，wikipedia 关于奇数 i 的 h_i 的值是错误的，参见 Todoran et. al. [1]）
因此，在执行与 h 的卷积时，u() 的偶数项永远不会与 u() 的奇数项混合。事实上，h(u)=u*h 的奇数项依赖于 u() 的偶数项，h(u) 的偶数项依赖于 u() 的奇数项。这似乎是一个有前途的轨道，但让我们引用 Todoran et。阿尔。 [1]关于它：
This algorithm seems to be computed in a shorter time. In fact, it requires a longer time than the algorithms that use the discrete Fourier transform. This is explained by the fact that for DFT were developed fast calculus algorithms (FFT -Fast Fourier Transform).
简短的结论：
FFTW再次获胜...
[1] Gheorghe TODORAN、Rodica HOLONEC 和 Ciprian IAKAB，离散希尔伯特变换。数值 Algorithm.ACTA ELECTROTEHNICA, 2008, 49, 4, 485-490
我有一个真实信号，我想对其进行傅立叶变换，计算频域中的解析信号，然后再变换回来。
的问题fftw_plan fftw_plan_dft_r2c_1d(int n, double *in, fftw_complex *out,
unsigned flags);
是它只有正频率分量，而我需要将负频率分量归零（fftw_complex(f)=0 for f < 0）。
明显的解决方案是零填充 fftw_complex 并从复数转换回复数，但是，出于性能/内存原因，我想避免这种情况。
所以目的是优化对应于真实信号u()的analytic signal的计算。正如您所写，显而易见的解决方案包括：
- 使用 r2c FFTW 函数计算前向实数到复数 DFT。不计算对应于负频率的傅里叶系数，因为它们是对应于正频率的傅里叶系数的复共轭。
- 用零填充复数数组，以便将所有负频率归零。
- 使用 c2c FFTW 计算复数到复数的反向 DFT 以获得复数分析信号。
首先，由于u()的解析信号在时域上很复杂，它是u()的两倍大，节省内存会很困难。由于解析信号的实部已知（即 u() 本身）， 计算解析信号严格等效于将 Hilbert tranform 应用于 u()，因为它的结果是分析信号的虚部。
使用FFTW应用希尔伯特变换，请参考[1]中的算法：
- 应用 r2c FFTW 变换。
- 对于所有（即正）频率，切换实部和复数部分。切换时采取相反的方式。这归结为将每个复数系数乘以 -j，其中 j^2=-1.
- 应用 c2r FFTW 变换。得到的实数数组是分析信号的虚部。
因此，分析信号的虚部可以通过使用c2r变换而不是c2c变换来计算。然而，虚部是作为第二个获得的array: 数组必须被压缩以获得与第一种方法完全相同的结果。使用 advanced real-data dfts 和步长 2 可以帮助删除该操作。
更进一步，仍然在[1]中，可以注意到在频域中乘以-j.sign(w)对应于时域中的卷积（参见Discrete Hilbert transform） .离散卷积核h是-j.sign(w)的反向DFT。结果，它写道：
如果 n 是偶数，索引 k>0 严格低于 n/2 对应于正频率，索引 n/2 必须沉默，因为它对应于 n/2 和 -n/2 高于 n/2 的频率和索引对应负频率。索引 0 可以被静音。结果，总和写道：
几何序列轻松相加，神奇运行：卷积核h的偶数项全部为空！
i%2==0 => h_i=0
（在 2017/09/21，wikipedia 关于奇数 i 的 h_i 的值是错误的，参见 Todoran et. al. [1]）
因此，在执行与 h 的卷积时，u() 的偶数项永远不会与 u() 的奇数项混合。事实上，h(u)=u*h 的奇数项依赖于 u() 的偶数项，h(u) 的偶数项依赖于 u() 的奇数项。这似乎是一个有前途的轨道，但让我们引用 Todoran et。阿尔。 [1]关于它：
This algorithm seems to be computed in a shorter time. In fact, it requires a longer time than the algorithms that use the discrete Fourier transform. This is explained by the fact that for DFT were developed fast calculus algorithms (FFT -Fast Fourier Transform).
简短的结论： FFTW再次获胜...
[1] Gheorghe TODORAN、Rodica HOLONEC 和 Ciprian IAKAB，离散希尔伯特变换。数值 Algorithm.ACTA ELECTROTEHNICA, 2008, 49, 4, 485-490