计算范围内所有值的函数？

Question

我正在尝试进行数学模拟以确定何时满足条件。我的方法是定义条件并创建一个增加 x 和 y 值的 while 循环。请看下面的代码：

# Initialize the variables.

x1list = []
y1list = []
x2list = []
y2list = []

x = 0
y = 0
i = 0

while i < 10:

  # Update data.
  i += 1
  x += .1
  y += .1

  func1 = x + y - 1
  func2 = x * y

  cond1 = func1 < func2 < 1

  if cond1:
    x1list.append(x)
    y1list.append(y)

这段代码的问题在于它只计算x和y以相同速率增长时的条件。当然，我可以更改费率，但这并不能真正解决问题。

我想做的是计算一个范围内的条件，比如说x(-10,10) 和y(-10,10)。我正在考虑制作一个包含所有 x 值的数组和另一个包含所有 y 值的数组，但是，我不知道如何使用所有这些值计算条件。

我的另一个想法是采用单个 x 值并使用所有 y 值对其进行测试，然后增加 x 并一次又一次地进行测试。

我该如何解决这个问题？

Answer 1

对于这种问题，不要盲目的迭代

首先，您可以寻找明显的解决方案：x = 0 和 y = 0 是一个。

您可以使用 sympy to try to find general solutions. Wolfram Alpha 也是执行这些任务的好工具，并找到这个区域：

如果这些工具找不到任何代数解，您可以使用 scipy.optimize 找到一些数值结果：

from scipy.optimize import minimize
def f(x):
    return (x[0] + x[1] - 1)**2 + (x[0] *  x[1])**2

minimize(f, [0,0])

它输出：

   status: 0
  success: True
     njev: 6
     nfev: 24
 hess_inv: array([[ 0.59518944, -0.40481056],
       [-0.40481056,  0.59518944]])
      fun: 0.050945906253583216
        x: array([ 0.4533971,  0.4533971])
  message: 'Optimization terminated successfully.'
      jac: array([ -2.88896263e-06,  -2.88896263e-06])

这个例子有点矫枉过正，但它显示了更复杂函数的有希望的结果。

Answer 2

方法一：二维'simulation'网格

I was thinking about making an array with all x values and another one with all y values, but, then, I don't know how to calculate the condition with all those values.

import numpy as np

x = np.arange(-10, 10, 0.1)
y = np.arange(-10, 10, 0.1)

# Create 2D simulation meshes for x and y.
# You can read the API entry for meshgrid to learn about options for index 
# ordering, mesh sparsity, and memory copying
X, Y = np.meshgrid(x, y)

func1 = X + Y - 1
func2 = X * Y
cond = np.logical_and(func1 < func2, func2 < 1.0) # intrinsic `and` does not work here

# now cond can be used as a 'mask' for any masked-array operations on X and Y
# including for numpy boolean indexing:
print('(X, Y) pairs')
for xy_pair in zip(X[cond], Y[cond]):
    print xy_pair

方法二：嵌套循环

Another idea that I had was to take a single value of x and test it with all y values, then increase x and test again and again.

import numpy as np  # no slower or memory-intensive than `from numpy import arange`

X = []
Y = []
for y in np.arange(-10, 10, 0.1):
    for x in np.arange(-10, 10, 0.1):
        if (x+y-1 < x*y) and (x*y < 1.0):
            X.append(x)
            Y.append(y)

print('(X, Y) pairs')
for xy_pair in zip(X, Y):
    print xy_pair

选择哪种方法？

How should I approach this problem?

这完全取决于您要对计算结果为 True 的 (x, y) 对执行的操作。如果您在提供更多指导的情况下编辑您的问题，那么对于您的用例来说哪种解决方案更直接。

例如，方法 1 提供了用于绘制解决方案的二维数组 space 而 方法 2 提供了紧凑的 python lists 用于数据库。

警告：条件运算符

还必须指出，具有多个条件运算符的数学表达式在 Python 中没有意义。这一行：

cond1 = func1 < func2 < 1

如果使用标准操作顺序进行评估，如 cond1 = (func1 < func2) < 1 将对 cond1 = (True/False) < 1 进行中间评估，这将隐式地将 True 重铸为 1 和 False 为 0，但不会正确计算数学表达式 func1 < func2 < 1.

编辑：

@(Eric Duminil) 的答案提供了解决潜在数学问题的替代概念，上面的两种方法假设您的问题需要在离散网格上进行数值求解，并且具有这些离散解点对于无论后面是什么代码。

@Uriel 的回答可能看起来有效，但请参阅我关于条件运算符的说明，了解为什么会产生误导。

此外，我最初键入 and 来组合二维条件语句，但这是不正确的，并导致错误。请改用 np.logical_and。

计算范围内所有值的函数？

Calculate function with all values in range?

python

arrays

simulation

math

loops