线性缩放功能 2D

Question

我有一个 canvas 和一个比例值。最大比例为 1，最小比例值类似于 0.1 或更高。假设我们有离散的时间单位。我正在寻找一个在时间间隔 I（比如说 100 个时间单位）内线性缩放的函数，从开始缩放 s 到结束缩放 e。令 0 >= i < I 为当前间隔。

示例：以 100 个时间单位从 0.2 缩放到 1.0。

显然zoom(i) = (e-s)/I * i不会产生线性缩放。因为从 0.2 到 0.4 的步长使缩放倍增，而从 0.8 到 1.0 的相同步长仅使缩放增加 25%。

我在想这个函数需要一些以 2 为底的对数，但我找不到正确的函数。

Answer 1

为了提供恒定参数差异的恒定比率，您需要指数函数（可以使用任何基数，e, 2, 10 等等，并具有相应的对数）

F(x) = A * Exp(B * x)

获取给定边界条件的系数A和B（参数x0对应函数值F0）：

F0 = A * Exp(B * x0)
F1 = A * Exp(B * x1)

将第二个方程除以第一个方程：

Exp(B * (x1 -x0) = F1 / F0
B * (x1 -x0) = ln(F1 / F0)

所以

B = ln(F1 / F0) / (x1 - x0)

和

A = F0 * Exp(-B * x0)

以你为例

x0=0, x1=100
zoom0 = 0.2, zoom1=1
B = ln(5) / 100 = 0.0161
A = 0.2 * Exp(0) = 0.2
zoom(i) = 0.2 * Exp(0.0161 * i)

zoom(0) = 0.2
zoom(50) = 0.447
zoom(100) = 1

note that 
zoom(50) / zoom(0) = zoom(100) / zoom(50)

Answer 2

您需要的不是对数，而是root。您的要求实际上是：您想要找到这样的序列 A[i] that

A[0] = 0.1
A[N] = 1
A[i+1]/A[i] = k，其中 k 是某个常数

这个问题的解决方案显然是

A[i] = 0.1 * k^i

所以 k 应该是

k^N = 1/0.1 = 10

或

k = root(10, N) = 10^(1/N)

出于实际原因，最好使用 N，它是 2 的幂，这样您可以通过乘以较小的根来计算一些中间结果累积的舍入误差。我的意思是

a[N/2] = sqrt(0.1) = 0.1 * sqrt(1/0.1)
a[N/4] = 0.1 * root(1/0.1, 4)
a[3*N/4] = a[N/2] * root(1/0.1, 4)

将 0.1 的起始值更改为本身就是某种力量的值也可能有意义，例如 1/9 或 1/16

线性缩放功能 2D

Linear zoom function 2D

math

canvas

zooming