sympy dsolve returns 错误答案

Question

我正在使用 sympy.dsolve 求解衰减链的简单 ODE。对于不同的衰减率（例如 lambda_1 > lambda_2），我得到的答案是错误的。代入 C1=0 后，我得到一个简单的指数

-N_0*lambda_1*exp(-lambda_1*t)/(lambda_1 - lambda_2)

而不是正确答案有：

(exp(-lambda_1*t)-exp(-lambda_2*t)).

我做错了什么？这是我的代码

sp.var('lambda_1,lambda_2 t')
sp.var('N_0')
daughter = sp.Function('N2',Positive=True)(t)

stage1 = N_0*sp.exp(-lambda_1*t)
eq = sp.Eq(daughter.diff(t),stage1*lambda_1 - daughter*lambda_2)

sp.dsolve(eq,daughter)

Answer 1

您的微分方程是（使用较短的变量标识符）

y' = A*N0*exp(-A*t) - B*y

应用积分因子exp(B*t)得到等效值

(exp(B*t)*y(t))' = A*N0*exp((B-A)*t)

积分得到

exp(B*t)*y(t) = A*N0*exp((B-A)*t)/(B-A) + C

y(t) = A*N0*exp(-A*t)/(B-A) + C*exp(-B*t)

这正是求解器的计算结果。

Answer 2

您是否插入了 C1 = 0，并期望得到 y(0) = 0 的解？它不是这样工作的。 C1 是公式中的任意常数，将其设置为 0 并不能保证当 t = 0 时表达式的计算结果为 0。

这是一个正确的方法，循序渐进

sol1 = sp.dsolve(eq, daughter)

这个 returns 一个 Piecewise 因为不知道两个 lambda 是否相等:

Eq(N2(t), (C1 + N_0*lambda_1*Piecewise((t, Eq(lambda_2, lambda_1)), (-exp(lambda_2*t)/(lambda_1*exp(lambda_1*t) - lambda_2*exp(lambda_1*t)), True)))*exp(-lambda_2*t))

我们可以澄清他们不是：

sol2 = sol1.subs(Eq(lambda_2, lambda_1), False)

得到

Eq(N2(t), (C1 - N_0*lambda_1*exp(lambda_2*t)/(lambda_1*exp(lambda_1*t) - lambda_2*exp(lambda_1*t)))*exp(-lambda_2*t))

接下来，我们需要C1，使得当t = 0时右侧变为0。所以，取右侧，将0代入t，求解C1：

C1 = Symbol('C1')
C1val = solve(sol2.rhs.subs(t, 0), C1, dict=True)[0][C1]

（没有必要包含 dict=True 但我喜欢它，因为它强制统一输出 solve：它是一个字典数组。）

顺便说一下，C1val 现在是 N_0*lambda_1/(lambda_1 - lambda_2)。放入：

sol3 = sol2.subs(C1, C1val).simplify()

你有它：

Eq(N2(t), N_0*lambda_1*(exp(lambda_1*t) - exp(lambda_2*t))*exp(-t*(lambda_1 + lambda_2))/(lambda_1 - lambda_2))

该表达式等同于 N_0*lambda_1*(exp(-lambda_2*t) - exp(-lambda_1*t))/(lambda_1 - lambda_2)，尽管 SymPy 似乎不愿意在此处组合指数。

sympy dsolve returns 错误答案

sympy dsolve returns incorrect answer

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