使用 sinc 函数重建数字信号

Question

我正在尝试使用 MATLAB 中的 sinc 函数以采样频率 800e6 重建信号 cos(2*pi*300e6)。当我输入以下代码时，我反而得到了一些非常嘈杂的东西——这不是我想要的。我究竟做错了什么？提前致谢！

代码：

F1 = 300e6;
Fs = 800e6;
tmin = 0;
tmax = 10/F1;
t = tmin:1e-12:tmax;
x1 = cos(2*pi*F1*t);
Ts = 1/Fs;
ts = tmin:Ts:tmax;
x1resampled = cos(2*pi*F1*ts);
x1reconstructed = zeros(1,length(t)); %preallocating for speed
samples = length(ts);
for i = 1:1:length(t)
    for n = 1:1:samples
        x1reconstructed(i) = sum(x1resampled(n)*sinc(pi*(t(i)-n*Ts)/Ts));
    end
end
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,x1)
hold on
stem(ts,x1resampled)
subplot(2,1,2)
plot(t,x1reconstructed)

Answer 1

代码的两个问题：

您没有正确累积重建样本。具体来说，您只保留了重采样信号中的一个值，而不是 all 个样本。
sinc 在 MATLAB 中使用归一化的 sinc 函数。这意味着您不必将参数乘以 pi。回想一下，重建公式需要归一化的 sinc 函数，因此函数的参数中没有 pi 的乘法。

因此您只需更改 for 循环内的代码：

F1 = 300e6;
Fs = 800e6;
tmin = 0;
tmax = 10/F1;
t = tmin:1e-12:tmax;
x1 = cos(2*pi*F1*t);
Ts = 1/Fs;
ts = tmin:Ts:tmax;
x1resampled = cos(2*pi*F1*ts);
x1reconstructed = zeros(1,length(t)); %preallocating for speed
samples = length(ts);
for i = 1:1:length(t)
    for n = 1:1:samples
        x1reconstructed(i) = x1reconstructed(i) + x1resampled(n)*sinc((t(i)-n*Ts)/Ts); %%% CHANGE
    end
end
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,x1)
hold on
stem(ts,x1resampled)
subplot(2,1,2)
plot(t,x1reconstructed)

我现在得到这个情节：

为了提高效率，一定要使用 sum 函数，但要对所有样本执行此操作。所以你的 for 循环现在应该是：

for i = 1:1:length(t)
    x1reconstructed(i) = sum(x1resampled .* sinc((t(i) - (1:samples)*Ts) ./ Ts));
end

Answer 2

您可以使用离散傅里叶变换 (DFT) 完成同样的事情，但效率更高：

F1 = 300e6;
Fs = 800e6;
tmin = 0;
tmax = 10/F1;
t = tmin:1e-12:tmax;
x1 = cos(2*pi*F1*t);
Ts = 1/Fs;
ts = tmin:Ts:tmax;
x1resampled = cos(2*pi*F1*ts);

x1resampledDFT = fftshift(fft(x1resampled));
n = (length(x1)-length(x1resampledDFT))/2;
x1reconstructedDFT = [zeros(1,ceil(n)),x1resampledDFT,zeros(1,floor(n))];
x1reconstructed = ifft(ifftshift(x1reconstructedDFT));
x1reconstructed = x1reconstructed / length(x1resampled) * length(x1reconstructed);

figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,x1)
hold on
stem(ts,x1resampled)
subplot(2,1,2)
plot(t,x1reconstructed)

这里发生的事情是我用零填充 DFT（使用 fft 有效计算）到所需的大小。然后，逆变换产生使用 sinc 插值器插值的信号。为了保持信号强度，需要进行一些归一化。您在 Rayryeng 的回答中看到的任何差异都是由于 DFT 的周期性性质造成的：基本上 sinc 函数，当它们离开右侧的信号域时，会在左侧返回；图右端的数据影响图左端的结果，反之亦然。

要了解有关使用傅里叶变换进行插值的更多信息，请参阅 this blog post。

使用 sinc 函数重建数字信号

Reconstruction of Digital Signal using the sinc Function

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nyquist