uniform_real_distribution<float> 所有可能的值生成

Question

我目前正在研究重要性采样，出于测试目的，我需要能够生成 uniform_real_distribution<float> 可能为区间 [0,1] 生成的所有可能值（是的，它从也对）。我的想法是生成整数，然后我可以将其转换为浮点数。从我所做的测试来看，[0,1] 中的统一单精度浮点数和 [0,2^24] 中的整数之间似乎存在完美的双射（我对它不是 [0 ,2^24-1] 并且我仍在试图找出原因，我最好的猜测是 0 对浮点数来说是特殊的，而 1 到 2^24 都会导致具有相同指数的浮点数）。我的问题是这样生成的浮点数是否正是可以从uniform_real_distribution<float>生成的浮点数。您可以在下面找到我的整数 <-> 浮点数测试：

void floatIntegerBitsBijectionTest()
{
    uint32 two24 = 1 << 24;
    bool bij24Bits = true;
    float delta = float(1.0) / float(two24);
    float prev = float(0) / float(two24);
    for (uint32 i = 1; i <= two24; ++i)
    {
        float uintMap = float(i) / float(two24);
        if (uintMap - prev != delta || uint32(uintMap*float(two24)) != i)
        {
            std::cout << "No bijection exists between uniform floats in [0,1] and integers in [0,2^24].\n";
            bij24Bits = false;
            break;
        }
        prev = uintMap;
    }
    if(bij24Bits) std::cout << "A bijection exists between uniform floats in [0,1] and integers in [0,2^24].\n";
    std::cout << "\n";

    uint32 two25 = 1 << 25;
    bool bij25Bits = true;
    delta = float(1.0) / float(two25);
    prev = float(0) / float(two25);
    for (uint32 i = 1; i <= two25; ++i)
    {
        float uintMap = float(i) / float(two25);
        if (uintMap - prev != delta || uint32(uintMap*float(two25)) != i)
        {
            std::cout << "No bijection exists between uniform floats in [0,1] and integers in [0,2^25].\n";
            if (i == ((1 << 24) + 1)) std::cout << "The first non-uniformly distributed float corresponds to the integer 2^24+1.\n";

            bij25Bits = false;
            break;
        }
        prev = uintMap;
    }
    if (bij25Bits) std::cout << "A bijection exists between uniform floats in [0,1] and integers in [0,2^25].\n";
    std::cout << "\n";


    bool bij25BitsS = true;
    delta = 1.0f / float(two24);
    prev = float(-two24) / float(two24);
    for (int i = -two24+1; i <= two24; ++i)
    {
        float uintMap = float(i) / float(two24);
        if (uintMap - prev != delta || int(uintMap*float(two24)) != i)
        {
            std::cout << i << " " << uintMap - prev << " " << delta << "\n";
            std::cout << "No bijection exists between uniform floats in [-1,1] and integers in [-2^24,2^24].\n";
            bij25BitsS = false;
            break;
        }
        prev = uintMap;
    }
    if (bij25BitsS) std::cout << "A bijection exists between uniform floats in [-1,1] and integers in [-2^24,2^24].\n";
}

编辑：

有点相关：

https://crypto.stackexchange.com/questions/31657/uniformly-distributed-secure-floating-point-numbers-in-0-1

http://xoroshiro.di.unimi.it/random_real.c

https://www.reddit.com/r/programming/comments/29ducz/obtaining_uniform_random_floats_is_trickier_than/

https://lemire.me/blog/2017/02/28/how-many-floating-point-numbers-are-in-the-interval-01/

编辑 2：

我终于弄清楚了 uniform_real_distribution<float> 至少在与 mt19937 引擎一起使用时与它的默认模板参数一起使用时做了什么（我说的是 VS2017 附带的实现）。可悲的是，它只是在 [0,2^32-1] 中生成一个随机整数，将其转换为浮点数，然后除以 2^32。不用说，这会产生非均匀分布的浮点数。然而，我猜测这适用于大多数实际目的，除非一个人正在接近生成数字之间的增量精度。

Answer 1

你可以强制这个问题。滚动你自己的随机浮点生成器。

编辑：我刚刚发现 std::generate_canonical<float>()，它做同样的事情，但不依赖于幻数 24。它从 std::numerical_limits<float>::digits 等推算出来...

#include <random>

static const unsigned long big = 1 << 24;
static std::default_random_engine re;
static std::uniform_int_distribution<unsigned long> uint(0, big - 1);

float rand_float() {
    return uint(re) / static_cast<float>(big);
}

Answer 2

我假设 C++ 实现使用 float 的 IEEE-754 32 位基本二进制格式。在这种格式中，[1, 2] 中可表示的 floating-point 值规则间隔，距离为 2⁻²³.

定义 x 为：

std::uniform_real_distribution<float> x(1, 2);

然后，假设 uniform_real_distribution 得到很好的实施并且使用了合适的引擎，x(engine) - 1 将生成等于 n / 2[=39= 的值]23 对于整数 n in [0, 2²³), 均匀分布.

备注

我对 C++ 中 uniform_real_distribution 的规范有疑虑。它是根据实算术定义的。它 return 具有恒定概率密度的值的要求需要一组连续的数字，而 floating-point 格式不提供。此外，我不确定实现将如何处理端点。

由于分布被迫离散，我们不妨使用 uniform_int_distribution 并将样本乘以 2⁻²³（可用 numeric_limits<float>::epsilon()).的好处是可以根据需要阐明端点并轻松支持 [0, 1) 或 [0, 1] 的区间。

即使 C++ 标准不使用 IEEE-754，[1, 2] 中的可表示值也应该均匀分布，因为 C++ 标准中描述了 floating-point 值由一些数字表示某个基数中的数字乘以基数的某次幂。对于零次幂，从 1 到 2 的值将根据格式中最低有效数字的值进行间隔。如上所述，该距离为 numeric_limits<float>::epsilon().

脚注

¹ C++ 标准使用遗留术语“尾数”，但首选术语是“尾数”。

uniform_real_distribution<float> 所有可能的值生成

uniform_real_distribution<float> all possible values generation

c++

random

floating-point

precision

uniform-distribution

备注

脚注