如何显示 lg n! = Theta(n lg n) 不使用斯特林公式
How to show that lg n! = Theta(n lg n) without using Stirling Formula
我必须证明
lg n! = Theta(n lg n)
但我必须在不使用斯特林公式的情况下执行此操作。我知道如何用斯特林公式做到这一点，但没有它我做不到，谁能给我一些提示，告诉我如何实现这个目标？
考虑使用对数的性质：
log(xy) = log(x) + log(y)log(x^y) = y log(x)
除了近似值：
您应该会看到一些不错的术语，然后您可以对其应用绑定。
您可以"sandwich"两个具有相同渐近增长的表达式之间的阶乘。
例如：
(n/2)^(n/2) < n! < n^n
然后
log((n/2)^(n/2)) < log(n!) < log(n^n)
我必须证明
lg n! = Theta(n lg n)
但我必须在不使用斯特林公式的情况下执行此操作。我知道如何用斯特林公式做到这一点，但没有它我做不到，谁能给我一些提示，告诉我如何实现这个目标？
考虑使用对数的性质：
log(xy) = log(x) + log(y)log(x^y) = y log(x)
除了近似值：
您应该会看到一些不错的术语，然后您可以对其应用绑定。
您可以"sandwich"两个具有相同渐近增长的表达式之间的阶乘。
例如：
(n/2)^(n/2) < n! < n^n
然后
log((n/2)^(n/2)) < log(n!) < log(n^n)