从 R 中的坐标计算总绝对曲率

Question

给定一个封闭形状对应的一组坐标，我想计算total absolute curvature，这需要计算每个点的曲率，取绝对值，然后求和。够简单了。

我使用的答案从 x y 坐标矩阵 (xymat) 计算曲率并得到我认为的总绝对曲率：

sum(abs(predict(smooth.spline(xymat), deriv = 2)$y))

问题是总绝对曲率的最小值为 2*pi，对于圆来说正是这个值，但是这段代码计算的值小于 2*pi:

library(purrr)
xymat <- map_df(data.frame(degrees=seq(0:360)), 
           function(theta) data.frame(x = sin(theta), y = cos(theta)))
sum(abs(predict(smooth.spline(xymat), deriv = 2)$y))

这个returns 1.311098 而不是6.283185的预期值。

如果我把smooth.spline的df参数改成3，返回值是3.944053，还是差2*pi（df值smooth.spline 自己计算出来的是 2.472213).

有没有更好的计算曲率的方法？ smooth.spline 是按弧长参数化还是将其（以某种方式）合并以挽救此计算？

Answer 1

好的，在我们开始之前先说几件事。您在 seq 中使用的是度数，这会给您不正确的结果（0 到 360 度）。您可以通过在 R 中取 cos(360) 来检查这是否错误，这不是 1。这在 Details.[=20= 下的三角函数文档中进行了解释]

所以让我们把你的函数改成这个

xymat <- map_df(data.frame(degrees=seq(0,2*pi,length=360)), 
         function(theta) data.frame(x = sin(theta), y = cos(theta)))

如果你绘制这个，这确实看起来像一个圆圈。

让我们实际将其限制在圆的下半部分。如果你在不了解对称性并查看绘图的情况下将样条曲线穿过它，你很可能会得到一条穿过圆圈的水平线。

为什么？因为样条曲线不知道它在 y = 0 的上方和下方是对称的。样条曲线试图拟合解释 "data" 的函数，而不是追踪弧线。它拆分了 y = 0 周围两组对称点之间的差异。

如果我们将样条限制在圆的下半部分，我们可以使用介于 1 和 -1 之间的 y 值，如下所示：

lower.semicircle <- data.frame(predict(smooth.spline(xymat[91:270,], all.knots = T)))

让我们通过它拟合一条样条曲线。

lower.semicircle.pred<-data.frame(predict(smooth.spline(lower.semicircle, all.knots = T)))

注意我在这里没有使用 deriv 函数。这是针对您链接到的 cars 示例中的另一个问题。你想要总的绝对曲率，他们正在研究曲率的变化率。

我们现在拥有的是使用样条曲线对下半圆的近似。现在你想要所有小连续点之间的距离，就像维基百科页面中的积分一样。

让我们使用距离矩阵计算所有小弧的距离。这从字面上计算了每个点到每个其他点之间的欧几里德距离。

all.pairwise.distances.in.the.spline.approx<-dist(lower.semicircle.pred, diag=F)
dist.matrix<-as.matrix(all.pairwise.distances.in.the.spline.approx)
seq.of.distances.you.want<-dist.matrix[row(dist.matrix) == col(dist.matrix) + 1]

最后一个对象是您需要求和的对象。

sum(seq.of.distances.you.want)

..下半圆的计算结果为 [1] 3.079，大约是 2*pi 预期值的一半。

它并不完美，但样条曲线存在边缘效应问题。

从 R 中的坐标计算总绝对曲率

Calculate total absolute curvature from coordinates in R

r

differential-equations