大的近奇异矩阵的最小特征值

Question

在 Matlab 中，我有一个实数和对称的 n x n 矩阵 A，其中 n > 6000。即使 A 是正定的，它也接近奇异。对于变化的特定变量，A 从正定变为单数变为不定。我要确定 A 何时变为单数。我不相信决定因素，所以我正在查看特征值，但我没有内存（或时间）来计算所有 n 个特征值，而且我只对最小的特征值感兴趣 - 特别是当它从积极到消极。我试过了

D = eigs(A,1,'smallestabs')

我失去了特征值的符号，并且

D = eigs(A,1,'smallestreal')

Matlab 无法获得收敛的最低特征值。然后我尝试定义一个移位值，如

for i = 1:10 
   if i == 1
      D(i) = eigs(A,1,0) 
   else
      D(i) = eigs(A,1,D(i-1))
   end
end

我在最后一个最低特征值的范围内查看。然而，特征值似乎表现得很奇怪，我不确定我是否真的找到了真正的最低值。

所以，关于如何

的任何想法

毫无疑问找到具有'eigs'或
通过另一种方式确定 A 何时变为单数（当更改 A 中的变量时）

非常感谢！

Answer 1

解决方案

我似乎已经解决了我的特殊问题。 Matlabs 命令 chol 有可能 return 一个值 p 如果矩阵是正定的则该值为零。因此，表演

[~,p] = chol(A)

在我的例子中确定了从正定到非正定的过渡（意味着首先是单数然后是不确定），并且在计算上也非常有效。在 chol 的文档中，它也优于 eigs 检查正定性。但是，如果矩阵只是正 semi-definite，结果似乎有些混乱，所以如果是这种情况，请小心。

替代解决方案

我遇到了几种可能的解决方案，我想说明一下：

行列式：对于正定矩阵，行列式为正。但是，对于不定矩阵，它可能为负 - 这可能表示过渡。但是，通常不推荐大型近奇异矩阵的行列式。

特征值：对于正定矩阵，所有特征值的实部都是正的。如果至少一个特征值为零，则矩阵是奇异的，如果一个变为负而其余为正，则矩阵不定。检测最低特征值的符号偏移表明矩阵变为奇异点。在 matlab 中，最低特征值可以通过

找到

D = eigs(A,1,'smallestreal')

但是，在我的例子中，Matlab 无法执行此操作。或者，您可以尝试在零附近搜索：

D = eigs(A,1,0)

然而，这只会找到最接近零的特征值。即使您按照我上面的原始问题中的指示进行循环，也不能保证您实际上找到了最低值。而且在某些情况下，近似奇异矩阵的特征值精度似乎很低。

条件数: Matlabs cond returns矩阵的条件数通过执行

C = cond(A)

表示最大特征值与最小特征值之比。条件数中符号的转变由此表示转变。然而，这对我不起作用，因为即使我有负特征值，我也只能得到正条件数。但也许它会在其他情况下起作用。

大的近奇异矩阵的最小特征值

Smallest eigenvalue for large nearly singular matrix

matlab

linear-algebra

eigenvalue

解决方案

替代解决方案