CRC 多项式的原始性
Primitivity of CRC polynomials
我在网上找到了以下关于 CRC 性能的信息：
Primitive polynomial. This has optimal length for HD=3, and good HD=2
performance above that length.
我不明白。 HD=3 的最佳长度是可以理解的；但良好的 HD=2 性能意味着什么？据我所知，所有 CRC 在 HD=2 时都具有无限数据长度。
那么本原多项式的"good HD=2 performance above that length"是什么意思？
... has optimal length for HD=3, and good HD=2 performance above that length.
该声明措辞不当。我在这个网页的底部 "Notation:"
下找到了它
https://users.ece.cmu.edu/~koopman/crc
在我找到的这篇文章和其他文章中，缩写 "HD" 表示 CRC 的最小汉明距离：对于 HD=k+1，则 CRC 可以检测消息中 k 位错误的任何模式达到一定长度（如表中所示）。正如您所说，"all CRCs have infinite data length at HD=2".
短语 "good HD=2 performance above that length" 的用法令人困惑。上面的网站链接到下面的网站，其中包含声明 "HD=2 lengths are always infinite, and so are always left out of this list."
https://users.ece.cmu.edu/~koopman/crc/notes.html
Wiki hamming distance解释误码检测与汉明距离的关系："a code C is said to be k error detecting if, and only if, the minimum Hamming distance between any two of its codewords is at least k+1"
正如您所说，"all CRCs have infinite data length at HD=2"，这意味着无论消息长度如何，所有 CRC 都可以检测到任何一位错误。
至于"optimal length for HD=3"，这意味着能够检测到2位错误，考虑一个基于CRC多项式的linear feedback shift register，用任何非零值初始化，如果循环寄存器足够多次，它最终会返回初始值。对于基于 n+1 位原始多项式的 n 位 CRC，寄存器将在重复之前循环遍历所有 2^n - 1 个非零值。消息的最大长度（即数据长度加上 CRC 的长度）不会发生检测 2 位错误的失败是 2^n - 1。对于长度为 2^n 或更大的消息，则对于any "i"，如果bit[0+i] 和bit[(2^n)-1+i] 有错误，原始CRC 将无法检测到2 位错误。如果 CRC 多项式不是原始的，则 failproof 2 错误位检测的最大长度将减少，而不是 "optimal".
对于基于任何CRC多项式的线性反馈移位寄存器，初始化为任何非零值，无论它循环多少次，它都不会包含零值。这是解释为什么 "all CRCs have infinite data length at HD=2"（能够检测单位错误）的一种方法。
作者说："Generally the primitive polynomials tend to have pretty good (i.e., low) weights at HD=2 compared to many other polynomials. It has been a while since I looked, but I think in all cases right above the HD=2 break point the lowest weight polynomial was always primitive."
对于某些算法实现，低权重可能会提供更快的计算。
我在网上找到了以下关于 CRC 性能的信息：
Primitive polynomial. This has optimal length for HD=3, and good HD=2 performance above that length.
我不明白。 HD=3 的最佳长度是可以理解的；但良好的 HD=2 性能意味着什么？据我所知，所有 CRC 在 HD=2 时都具有无限数据长度。
那么本原多项式的"good HD=2 performance above that length"是什么意思？
... has optimal length for HD=3, and good HD=2 performance above that length.
该声明措辞不当。我在这个网页的底部 "Notation:"
下找到了它https://users.ece.cmu.edu/~koopman/crc
在我找到的这篇文章和其他文章中，缩写 "HD" 表示 CRC 的最小汉明距离：对于 HD=k+1，则 CRC 可以检测消息中 k 位错误的任何模式达到一定长度（如表中所示）。正如您所说，"all CRCs have infinite data length at HD=2".
短语 "good HD=2 performance above that length" 的用法令人困惑。上面的网站链接到下面的网站，其中包含声明 "HD=2 lengths are always infinite, and so are always left out of this list."
https://users.ece.cmu.edu/~koopman/crc/notes.html
Wiki hamming distance解释误码检测与汉明距离的关系："a code C is said to be k error detecting if, and only if, the minimum Hamming distance between any two of its codewords is at least k+1" 正如您所说，"all CRCs have infinite data length at HD=2"，这意味着无论消息长度如何，所有 CRC 都可以检测到任何一位错误。
至于"optimal length for HD=3"，这意味着能够检测到2位错误，考虑一个基于CRC多项式的linear feedback shift register，用任何非零值初始化，如果循环寄存器足够多次，它最终会返回初始值。对于基于 n+1 位原始多项式的 n 位 CRC，寄存器将在重复之前循环遍历所有 2^n - 1 个非零值。消息的最大长度（即数据长度加上 CRC 的长度）不会发生检测 2 位错误的失败是 2^n - 1。对于长度为 2^n 或更大的消息，则对于any "i"，如果bit[0+i] 和bit[(2^n)-1+i] 有错误，原始CRC 将无法检测到2 位错误。如果 CRC 多项式不是原始的，则 failproof 2 错误位检测的最大长度将减少，而不是 "optimal".
对于基于任何CRC多项式的线性反馈移位寄存器，初始化为任何非零值，无论它循环多少次，它都不会包含零值。这是解释为什么 "all CRCs have infinite data length at HD=2"（能够检测单位错误）的一种方法。
作者说："Generally the primitive polynomials tend to have pretty good (i.e., low) weights at HD=2 compared to many other polynomials. It has been a while since I looked, but I think in all cases right above the HD=2 break point the lowest weight polynomial was always primitive."
对于某些算法实现，低权重可能会提供更快的计算。