找到马尔可夫链定义的图的第一个顶点的最长路径
Find the longest path to the first vertex of graph defined by Markov chain
我需要定义马尔可夫链并绘制具有以下属性的图形：
- 有4个顶点
- 每个顶点跳转到任何其他顶点的概率相同 (0.25)
- 顶点S1是起始顶点
The Image below is what I think the graph should look like, but please correct me if I'm wrong:
马尔可夫链是不是这样的？
如果是：
What is the shortest path (counting the edges) to S1?
应该是 1 因为有一条边 returns 到 S1.
What is the longest path (counting the edges) to S1?
如果我们假设我们只经过每个顶点两次（一次从前一个顶点开始，一次从循环开始），那么那应该是 7.
但是概率呢？
如果问题是如何找到旅行者将走哈密顿循环（一条路径恰好访问每个节点一次然后 returns 到起始节点）的概率：
称起始节点为S1，旅行者为T。T的第一步必须是到某个other节点，而不是S1。三个这样的节点可用。概率是 3/4.
到达该节点后，将其称为 S2，然后 T 必须继续前往新节点，不是 S1 也不是 S2，而是其余两个节点之一。概率是 2/4.
完成到我们称为 S3 的节点的步骤后，T 只剩下一个节点要访问，称为 S4。移动到 S1、S2 或 S3 意味着失败。移动到 S4 有 1/4 的概率。
到达 S4 后，T 的下一步必须回到 S1 而不是其他地方。这个概率是1/4.
总概率：(3/4)(2/4)(1/4)(1/4) = 3/128。
我需要定义马尔可夫链并绘制具有以下属性的图形：
- 有4个顶点
- 每个顶点跳转到任何其他顶点的概率相同 (0.25)
- 顶点S1是起始顶点
The Image below is what I think the graph should look like, but please correct me if I'm wrong:
马尔可夫链是不是这样的？
如果是：
What is the shortest path (counting the edges) to S1?
应该是 1 因为有一条边 returns 到 S1.
What is the longest path (counting the edges) to S1?
如果我们假设我们只经过每个顶点两次（一次从前一个顶点开始，一次从循环开始），那么那应该是 7.
但是概率呢？
如果问题是如何找到旅行者将走哈密顿循环（一条路径恰好访问每个节点一次然后 returns 到起始节点）的概率：
称起始节点为S1，旅行者为T。T的第一步必须是到某个other节点，而不是S1。三个这样的节点可用。概率是 3/4.
到达该节点后，将其称为 S2，然后 T 必须继续前往新节点，不是 S1 也不是 S2，而是其余两个节点之一。概率是 2/4.
完成到我们称为 S3 的节点的步骤后，T 只剩下一个节点要访问，称为 S4。移动到 S1、S2 或 S3 意味着失败。移动到 S4 有 1/4 的概率。
到达 S4 后，T 的下一步必须回到 S1 而不是其他地方。这个概率是1/4.
总概率：(3/4)(2/4)(1/4)(1/4) = 3/128。