如何有效地计算 2d 点的三个向量之间的完整 (2pi) 角度

Question

我有三个形状为 [n, 2] 的 numpy 数组，其中包含一个点列表。我们称它们为 a、b 和 c。我想找到 ab 和 bc 之间的完整角度。使用 acos 只能得到 pi 弧度，但我想要完整的 2pi 比例。我考虑过使用 atan2，但不确定如何计算 atan2 所需的 y 和 x 向量 - 我尝试使用向量范数，但它们本质上是正的。有什么办法可以完全使用 numpy 函数来提高效率吗？

Answer 1

单独使用 arccos 方法只能给出向量之间的绝对角度，而不是 clock-wise 或 counter-clockwise。您可以通过检查 a 与 b 的垂线的点积是否为负来增强这一点，表示 counter-clockwise 角度。

import numpy as np

def dot(a, b):
  return np.sum(a * b, axis=-1)

def mag(a):
  return np.sqrt(np.sum(a*a, axis=-1))

def angle(a, b):
  cosab = dot(a, b) / (mag(a) * mag(b)) # cosine of angle between vectors
  angle = np.arccos(cosab) # what you currently have (absolute angle)

  b_t = b[:,[1,0]] * [1, -1] # perpendicular of b

  is_cc = dot(a, b_t) < 0

  # invert the angles for counter-clockwise rotations
  angle[is_cc] = 2*np.pi - angle[is_cc]
  return angle

print(angle(
  np.array([[1, 0], [1, 0]]),
  np.array([[0, 1], [0, -1]])
))

将打印 [pi/2, 3pi/2] 的浮点值。

此函数输出范围 [0, 2*pi]。

Answer 2

不出所料，这里可以使用angle函数。它需要一个复杂的参数 x + y i:

这种方法的优点是比较容易得到相对角度。使用 atan2 这会有点棘手。

def get_angle(a,b,yx=False):
    # make sure inputs are contiguous float
    # swap x and  if requested
    a,b = map(np.ascontiguousarray, (a[...,::-1],b[...,::-1]) if yx else (a,b), (float,float))
    # view cast to complex, prune excess dimension
    A,B = (z.view(complex).reshape(z.shape[:-1]) for z in (a,b))
    # to get the relative angle we must either divide 
    # or (probably cheaper) multiply with the conjugate  
    return np.angle(A.conj()*B)

a,b,c = np.random.randn(3,20,2)
# let's look at a roundtrip as a test
get_angle(a,b)+get_angle(b,c)+get_angle(c,a)
# array([ 0.00000000e+00,  1.66533454e-16,  4.44089210e-16, -2.22044605e-16,
#         0.00000000e+00,  0.00000000e+00,  0.00000000e+00, -4.44089210e-16,
#         0.00000000e+00, -1.66533454e-16,  2.22044605e-16,  0.00000000e+00,
#         0.00000000e+00,  2.22044605e-16,  6.28318531e+00,  8.32667268e-17,
#         2.22044605e-16, -6.28318531e+00, -2.22044605e-16,  6.28318531e+00])
# some zeros, some 2pi and some -2pi ==> looks ok

# Let's also check the sum of angles of triangles abc:
get_angle(a-c,b-c)+get_angle(b-a,c-a)+get_angle(c-b,a-b)
# array([-3.14159265, -3.14159265,  3.14159265, -3.14159265, -3.14159265,
#         3.14159265, -3.14159265, -3.14159265,  3.14159265, -3.14159265,
#        -3.14159265,  3.14159265, -3.14159265, -3.14159265,  3.14159265,
#         3.14159265, -3.14159265, -3.14159265,  3.14159265,  3.14159265])

如何有效地计算 2d 点的三个向量之间的完整 (2pi) 角度

How to efficiently calculate full (2pi) angles between three vectors of 2d points

python

trigonometry

numpy

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