从传入数据点生成平滑曲线的算法

Question

我正在寻找一种算法，可以在实时中平滑地插入点。

例如，假设我从一个包含 10 个 (x,y) 对的数组开始。我目前正在使用 scipy 和高斯 window 来生成平滑曲线。然而，我无法弄清楚的是如何更新平滑曲线以响应在未来某个点生成的第 11 个点（而不完全重做所有 11 个点的平滑）。

我要找的是一种算法，它遵循前面的平滑曲线直到第 10 个 (x,y) 对 和也在第 10 对和第 11 对之间平滑地插值（以类似于重做整个算法的方式 - 所以没有尖锐的边缘）。有什么东西可以满足我的需求吗？

Answer 1

我想你可以使用 Cubic Spline。给定 n 个点 (x_1, y_1)..(x_n, y_n) 的列表，该算法在 (x_k, y_k) 和 (x_{k+1}, y_{k+1}) 之间找到一个三次多项式 p_k，具有以下约束：

多项式p_k和p_{k+1}通过点(x_{k+1}, y_{k+1});
多项式 p_k 和 p_{k+1} 在 (x_{k+1}, y_{k+1}) 处具有相同的一阶导数；
多项式 p_k 和 p_{k+1} 在 (x_{k+1}, y_{k+1}) 处具有相同的二阶导数。

此外，还有一些边界条件，为第一个和最后一个多项式定义。我使用了 natural，它强制二阶导数在曲线末端为零。

您可以应用的步骤是：

使用三次样条插值前 10 个点。
将p_10处的一阶微分值赋给变量d。
运行 p_10 和 p_11 的三次样条，强制 p_10 处的一阶导数为 d 且 [= 处的二阶导数30=] 为零。

从那里，您可以对剩余的点重复相同的步骤。

此代码将为所有点生成插值：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.interpolate import CubicSpline

height=4
n = 20
x = np.arange(n)
xs = np.arange(-0.1,n+0.1,0.1)
y = np.random.uniform(low=0, high=height, size=n)

plt.plot(x, y, 'o', label='data')
cs = CubicSpline(x, y)
plt.plot(xs, cs(xs), color='orange')
plt.ylim([0, height+1])

现在，此代码将对前 10 个点进行插值，然后在点 10 和 11 之间进行另一个插值：

k = 10
delta = 0.001

plt.plot(x, y, 'o', label='data')
xs = np.arange(x[0], x[k-1]+delta, delta)
cs = CubicSpline(x[0:k], y[0:k])
plt.plot(xs, cs(xs), color='red')

d = cs(x[k-1], 1)

xs2 = np.arange(x[k-1], x[k]+delta, delta)
cs2 = CubicSpline(x[k-1:k+1], y[k-1:k+1], bc_type=((1, d), 'natural'))
plt.plot(xs2, cs2(xs2), color='blue')

plt.ylim([0, height+1])

从传入数据点生成平滑曲线的算法

Algorithm for generating smooth curves from incoming data points

python

gaussian

smoothing