使用 python 将 "multimodal" 对数正态分布拟合到数据

Question

我在实验室使用仪器测量了以下数据。由于仪器根据直径将不同大小的颗粒收集在垃圾箱中，因此测量结果基本上是 "binned":

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from lmfit import models

y = np.array([196, 486, 968, 2262, 3321, 4203, 15072, 46789, 95201, 303494, 421484, 327507, 138931, 27973])
bins = np.array([0.0150, 0.0306, 0.0548, 0.0944, 0.1540, 0.2560, 0.3830, 0.6050, 0.9510, 1.6400, 2.4800, 3.6700, 5.3800, 9.9100, 15])

bin_width=np.diff(bins)
x_plot = np.add(bins[:-1],np.divide(bin_width,2))
x=x_plot
y=y

这里绘制的是数据的样子。在 x 尺度的单位中，有一种模式在 0.1 左右，另一种模式在 2 左右。

在这个研究领域内，通常将 "multimodal" 对数正态分布拟合到此类数据：鉴于此，我使用 LMFIT 在 2 左右拟合了众数：

model = models.LognormalModel()
params = model.make_params(center=1.5, sigma=0.6, amplitude=2214337)

result = model.fit(y, params, x=x)
print(result.fit_report())

plt.plot(x, y, label='data')
plt.plot(x, result.best_fit, label='fit')
plt.xscale("log")
plt.yscale("log")
plt.legend()
plt.show()

正如预期的那样，这会很好地拟合 2 左右的第二个模式。我的问题是我将如何在 0.1 左右拟合第二个模式（基本上两个模式的总和应该适合数据）？我意识到也可以说三种模式会更好，但我假设一旦我理解了如何使用两种模式，添加第三种模式应该是微不足道的。

Answer 1

这是您要拟合的对数正态混合分布。您可以简单地记录数据并拟合高斯混合：

import numpy as np
from sklearn.mixture import GaussianMixture

# Make data from two log-normal distributions
# NOTE: 2d array of shape (n_samples, n_features)
n = 10000
x = np.zeros((n,1))
x[:n//2] = np.random.lognormal(0,1, size=(n//2,1))
x[n//2:] = np.random.lognormal(2,0.5, size=(n//2,1))

# Log transform the data
x_transformed = np.log(x)

# Make gaussian mixture model.
# n_init makes multiple initial guesses and
# depending on data, 1 might be good enough
# Decrease tolerance for speedup or increase for better precision
m = GaussianMixture(n_components=2, n_init=10, tol=1e-6)

# Fit the model
m.fit(x_transformed)

# Get the fitted parameters
# NOTE: covariances are stdev**2
print(m.weights_) # [0.50183897 0.49816103]
print(m.means_) # [1.99866785, -0.00528186]
print(m.covariances_) # [0.25227372,0.99692494]

Answer 2

lmfit.Models可以相加，如：

model = (models.LognormalModel(prefix='p1_') +
         models.LognormalModel(prefix='p2_') +
         models.LognormalModel(prefix='p3_') )

params = model.make_params(p1_center=0.3, p1_sigma=0.2, p1_amplitude=1e4,
                           p2_center=1.0, p2_sigma=0.4, p2_amplitude=1e6,
                           p3_center=1.5, p3_sigma=0.6, p3_amplitude=2e7)

在复合模型中，模型的每个组件都有自己的 "prefix"（任何字符串），它位于参数名称的前面。你可以在拟合后得到一个模型组件的字典：

components = result.eval_components()
# {'p1_': Array, 'p2_': Array, 'p3_': Array}
for compname, comp in components.keys():
    plt.plot(x, comp, label=compname)

对于在半对数或对数-对数图上表示的拟合数据，您可以考虑将模型拟合到 log(y)。否则，在非常低的 y 值下，拟合不会对失配非常敏感。

请注意 lmfit 模型和参数支持边界。您可能想要或发现您需要放置边界，例如

params['p1_amplitude'].min = 0
params['p1_sigma'].min = 0
params['p1_center'].max = 0.5
params['p3_center'].min = 1.0

使用 python 将 "multimodal" 对数正态分布拟合到数据

Fitting "multimodal" lognormal distributions to data using python

python

curve-fitting

lmfit