Applicative 接口提供的功能是否超出了将多参数函数（以柯里化形式）提升为 Functor 的能力？

Question

应用程序通常作为提升多参数函数的一种方式呈现进入仿函数并将仿函数值应用于它。但我想知道是否有一些微妙的额外力量源于它可以通过提升来做到这一点 return 一个函数并应用函数参数的函数一次。

想象一下，我们定义一个基于提升函数的接口，其参数是一个参数元组：

# from Functor
fmap :: (a -> b) -> Fa -> Fb
# from Applicative
pure :: a -> Fa

# combine multiple functor values into a functor of a tuple
tuple1 :: Fa -> F(a)
tuple2 :: Fa -> Fb -> F(a,b)
tuple3 :: Fa -> Fb -> Fc -> F(a,b,c)
(etc ...)

# lift multi-argument functions (that take a tuple as input)
ap_tuple1 :: ((a) -> b) -> F(a) -> Fb
ap_tuple2 :: ((a,b) -> c) -> F(a,b) -> Fc
ap_tuple3 :: ((a,b,c) -> d) -> F(a,b,c) -> Fd
(etc ..)

假设我们为可能遇到的每个大小的元组定义了相应的元组函数。这个接口是否和 Applicative 接口一样强大，因为它允许 lifting/applying-to 多参数函数但不允许 lifting/applying-to 函数那return一个函数？显然，可以咖喱以元组作为参数的函数所以它们可以在一个应用程序中被提升，并且可以取消 return 一个函数的函数为了将它们提升到上面的假设实现中。但在我看来有一个微妙的权力的差异。有什么不同吗？（假设这个问题甚至是有道理的）

Answer 1

您重新发现了 Applicative 的 monoidal presentation。它看起来像这样：

class Functor f => Monoidal f where
    (>*<) :: f a -> f b -> f (a, b)
    unit :: f ()

通过以下方式与 Applicative 同构：

(>*<) = liftA2 (,)
unit = pure ()

pure x = x <$ unit
f <*> x = fmap (uncurry ($)) (f >*< x)

顺便说一下，你的 ap_tuple 函数都只是 fmap。具有多个值的 "hard" 部分将它们组合在一起。将它们拆分成碎片是 "easy".

Answer 2

是的，这同样强大。请注意 pure 和 tuple1 是相同的。此外，所有高于 tuple2 的内容都从 tuple2 和 fmap:

中恢复

tuple3 x y z = repair <$> tuple2 (tuple2 x y) z
    where repair ((a, b), c) = (a, b, c)
tuple4 w x y z = repair <$> tuple2 (tuple2 x y) (tuple2 x y)
    where repair ((a, b), (c, d)) = (a, b, c, d)
-- etc.

此外，所有 ap_tuple 都是 fmap:

ap_tuple1 = fmap
ap_tuple2 = fmap
ap_tuple3 = fmap
-- ...

重命名 prod = tuple2，您的问题归结为

Is

class Functor f => Applicative f where
    pure :: a -> f a
    prod :: f a -> f b -> f (a, b)

equivalent to

class Functor f => Applicative f where
    pure :: a -> f a
    liftA2 :: (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c

?

您可能已经看到答案是肯定的。 prod 只是 liftA2

的特化

prod = liftA2 (,)

但是 (,) 是 "natural"，因为它没有 "delete" 任何东西，因此您可以通过解构数据来恢复 liftA2：

liftA2 f x y = f' <$> prod x y
    where f' (a, b) = f a b

Applicative 接口提供的功能是否超出了将多参数函数（以柯里化形式）提升为 Functor 的能力？

Does the Applicative interface provide power beyond the ability to lift multi-argument functions (in curried form) into a Functor?

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