从泊松回归中的模拟数据中恢复系数
Resurrecting coefficients from simulated data in Poisson regression
我试图了解如何从泊松回归中的模拟数据中恢复模型估计。 StackExchange/CrossValidated (https://stats.stackexchange.com/questions/11096/how-to-interpret-coefficients-in-a-poisson-regression, https://stats.stackexchange.com/questions/128926/how-to-interpret-parameter-estimates-in-poisson-glm-results) 上还有其他关于解释系数的类似帖子，但我认为我的问题有所不同（尽管公认相关）。我试图恢复已知的关系，以了解模型发生了什么。我在这里而不是 CrossValidated 发帖，因为我认为它不是统计解释，而是更多的是我如何通过代码获得已知/模拟的关系。
这是一些模拟数据 y 和 x 与某些响应 resp
的已知关系
set.seed(707)
x<-rnorm(10000,mean=5,sd=1)
y<-rnorm(10000,mean=5,sd=1)
resp<-(0.5*x+0.7*y-0.1*x*y) # where I define some relationships
使用线性回归，非常简单：
summary(lm(resp~y+x+y:x))
输出显示 x、y 和交互作用之间的精确线性关系。
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.592e-14 1.927e-15 8.260e+00 <2e-16 ***
y 7.000e-01 3.795e-16 1.845e+15 <2e-16 ***
x 5.000e-01 3.800e-16 1.316e+15 <2e-16 ***
y:x -1.000e-01 7.489e-17 -1.335e+15 <2e-16 ***
现在，如果我对泊松回归感兴趣，我需要整数，我只是四舍五入，但保持预测变量和响应变量之间的关系：
resp<-round((0.5*x+0.7*y-0.1*x*y),0)
glm1<-glm(resp~y+x+y:x,family=poisson())
summary(glm1)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 0.419925 0.138906 3.023 0.0025 **
y 0.163919 0.026646 6.152 7.66e-10 ***
x 0.056689 0.027375 2.071 0.0384 *
y:x -0.011020 0.005261 -2.095 0.0362 *
据我了解，由于 link 函数，需要对结果取幂才能理解它们。但是在这里，指数估计和截距+估计都没有让我回到原来的值。
> exp(0.419925+0.163919)
[1] 1.792917
> exp(0.163919)
[1] 1.178119
如何将这些值解释为与原始 0.7*y 关系相关？
现在，如果我将相同的线性方程式代入指数函数，我将直接获得值 - 无需使用 exp():
resp<-round(exp(0.5*x+0.7*y-0.1*x*y),0)
summary(glm(resp~y+x+y:x,family=poisson()))
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 0.002970 0.045422 0.065 0.948
y 0.699539 0.008542 81.894 <2e-16 ***
x 0.499476 0.008912 56.047 <2e-16 ***
y:x -0.099922 0.001690 -59.121 <2e-16 ***
有人可以向我解释我在这里的误解，以及我如何在不首先使用 exp() 函数的情况下找到已知关系的原始值，如上所述？
您忽略了泊松 GLM 默认使用对数 link（指数逆-link）这一事实（或者更确切地说，您没有始终如一地使用该信息）。您应该使用指数倒数生成 'data'-link:
resp <- round(exp(0.5*x+0.7*y-0.1*x*y))
或使用身份 link (family=poisson(link="identity")) 拟合模型。 （我不推荐后者，因为它很少是一个明智的模型。）
就其价值而言，很难模拟 完全 匹配一组指定参数的泊松数据，因为（与可以将方差减小到任意小的高斯分布不同值）你不能生成具有任意小噪声的真实泊松数据。 （您的 round() 语句产生整数，但不是泊松分布的结果。）
我试图了解如何从泊松回归中的模拟数据中恢复模型估计。 StackExchange/CrossValidated (https://stats.stackexchange.com/questions/11096/how-to-interpret-coefficients-in-a-poisson-regression, https://stats.stackexchange.com/questions/128926/how-to-interpret-parameter-estimates-in-poisson-glm-results) 上还有其他关于解释系数的类似帖子，但我认为我的问题有所不同（尽管公认相关）。我试图恢复已知的关系，以了解模型发生了什么。我在这里而不是 CrossValidated 发帖，因为我认为它不是统计解释，而是更多的是我如何通过代码获得已知/模拟的关系。
这是一些模拟数据 y 和 x 与某些响应 resp
set.seed(707)
x<-rnorm(10000,mean=5,sd=1)
y<-rnorm(10000,mean=5,sd=1)
resp<-(0.5*x+0.7*y-0.1*x*y) # where I define some relationships
使用线性回归，非常简单：
summary(lm(resp~y+x+y:x))
输出显示 x、y 和交互作用之间的精确线性关系。
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.592e-14 1.927e-15 8.260e+00 <2e-16 ***
y 7.000e-01 3.795e-16 1.845e+15 <2e-16 ***
x 5.000e-01 3.800e-16 1.316e+15 <2e-16 ***
y:x -1.000e-01 7.489e-17 -1.335e+15 <2e-16 ***
现在，如果我对泊松回归感兴趣，我需要整数，我只是四舍五入，但保持预测变量和响应变量之间的关系：
resp<-round((0.5*x+0.7*y-0.1*x*y),0)
glm1<-glm(resp~y+x+y:x,family=poisson())
summary(glm1)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 0.419925 0.138906 3.023 0.0025 **
y 0.163919 0.026646 6.152 7.66e-10 ***
x 0.056689 0.027375 2.071 0.0384 *
y:x -0.011020 0.005261 -2.095 0.0362 *
据我了解，由于 link 函数，需要对结果取幂才能理解它们。但是在这里，指数估计和截距+估计都没有让我回到原来的值。
> exp(0.419925+0.163919)
[1] 1.792917
> exp(0.163919)
[1] 1.178119
如何将这些值解释为与原始 0.7*y 关系相关？
现在，如果我将相同的线性方程式代入指数函数，我将直接获得值 - 无需使用 exp():
resp<-round(exp(0.5*x+0.7*y-0.1*x*y),0)
summary(glm(resp~y+x+y:x,family=poisson()))
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 0.002970 0.045422 0.065 0.948
y 0.699539 0.008542 81.894 <2e-16 ***
x 0.499476 0.008912 56.047 <2e-16 ***
y:x -0.099922 0.001690 -59.121 <2e-16 ***
有人可以向我解释我在这里的误解，以及我如何在不首先使用 exp() 函数的情况下找到已知关系的原始值，如上所述？
您忽略了泊松 GLM 默认使用对数 link（指数逆-link）这一事实（或者更确切地说，您没有始终如一地使用该信息）。您应该使用指数倒数生成 'data'-link:
resp <- round(exp(0.5*x+0.7*y-0.1*x*y))
或使用身份 link (family=poisson(link="identity")) 拟合模型。 （我不推荐后者，因为它很少是一个明智的模型。）
就其价值而言，很难模拟 完全 匹配一组指定参数的泊松数据，因为（与可以将方差减小到任意小的高斯分布不同值）你不能生成具有任意小噪声的真实泊松数据。 （您的 round() 语句产生整数，但不是泊松分布的结果。）