非单调样条拟合
Non-monotonic spline fitting
我已经使用 2 个 2D 拟合完成了 3D 路径的样条插值。使用插值条件以及 2 次可微分的要求，我得到了插值 3D 路径所需的方程式。
但是我开始意识到，我忽略了一个事实，即由于障碍物路径不是单调的，因此无法计算拟合样条。
如果没有单调的数据集，我找不到任何关于样条拟合的东西。有没有办法接受这个事实？
（我发现，这些点必须满足（Schoenberg-Whitney）条件，这对我来说基本上看起来像单调性，可以通过最小二乘法唯一拟合）。
对采用或不同算法有什么建议吗？到目前为止，我唯一能找到的是：
heremite，这需要端点处的导数，这对我的目的来说并不理想。我会喜欢像 "regular" 样条曲线（具有连续性条件的三阶多项式）这样简单的东西。
我还找到了 this question，它只说明了一些关于厄米多项式的内容（我想避免）。
最后这用于控制算法，需要隐式定义曲线（非参数化）。例如 y - p(x) = 0。对我来说不可能的是： p(t)=y, x(t) 其中 t 是参数。如果可以消除参数，产生隐式表示，就可以了。
您可以通过简单地将点到点的累积距离作为独立（单调）参数来为任何系列的 3D 点生成单调性。将其视为连接所有点的分段线性路径的长度 p ...
编辑： ...喜欢（伪代码）：
p[0] = 0;
p[i] = p[i-1] + sqrt((x[i]-x[i-1])^2 + (y[i]-y[i-1])^2 + (z[i]-z[i-1])^2)
获得此参数后，您可以分别对三个维度（x、y 和 z）进行三个样条曲线拟合。这样您的 3D 曲线拟合就可以处理任何可以想到的点系列。使用此路径 p 进行样条插值也会使它更多 "physical" 因为靠近在一起的点将被这样处理。
为简单起见 - 特别是如果您的数据点或多或少地间隔相等 - 您可以简单地使用每个点的序数（如 0、1、2、3 ...）作为独立的单调递增参数.
由于路径不是单调的，因此不存在描述它们的（单射）函数！
这很容易想到，如果考虑一条路径，你可以向前、向后和再次向前。如果没有参数表示（例如时间），路径就不会是唯一的。
换句话说：如果 y=sin(x)，现在 y = 0 的路径在哪个位置？无限解当然是 x=k*pi，但这里很明显，这不是唯一的。
我已经使用 2 个 2D 拟合完成了 3D 路径的样条插值。使用插值条件以及 2 次可微分的要求，我得到了插值 3D 路径所需的方程式。 但是我开始意识到，我忽略了一个事实，即由于障碍物路径不是单调的，因此无法计算拟合样条。
如果没有单调的数据集，我找不到任何关于样条拟合的东西。有没有办法接受这个事实？ （我发现，这些点必须满足（Schoenberg-Whitney）条件，这对我来说基本上看起来像单调性，可以通过最小二乘法唯一拟合）。
对采用或不同算法有什么建议吗？到目前为止，我唯一能找到的是： heremite，这需要端点处的导数，这对我的目的来说并不理想。我会喜欢像 "regular" 样条曲线（具有连续性条件的三阶多项式）这样简单的东西。
我还找到了 this question，它只说明了一些关于厄米多项式的内容（我想避免）。
最后这用于控制算法，需要隐式定义曲线（非参数化）。例如 y - p(x) = 0。对我来说不可能的是： p(t)=y, x(t) 其中 t 是参数。如果可以消除参数，产生隐式表示，就可以了。
您可以通过简单地将点到点的累积距离作为独立（单调）参数来为任何系列的 3D 点生成单调性。将其视为连接所有点的分段线性路径的长度 p ...
编辑： ...喜欢（伪代码）：
p[0] = 0;
p[i] = p[i-1] + sqrt((x[i]-x[i-1])^2 + (y[i]-y[i-1])^2 + (z[i]-z[i-1])^2)
获得此参数后，您可以分别对三个维度（x、y 和 z）进行三个样条曲线拟合。这样您的 3D 曲线拟合就可以处理任何可以想到的点系列。使用此路径 p 进行样条插值也会使它更多 "physical" 因为靠近在一起的点将被这样处理。
为简单起见 - 特别是如果您的数据点或多或少地间隔相等 - 您可以简单地使用每个点的序数（如 0、1、2、3 ...）作为独立的单调递增参数.
由于路径不是单调的，因此不存在描述它们的（单射）函数！
这很容易想到，如果考虑一条路径，你可以向前、向后和再次向前。如果没有参数表示（例如时间），路径就不会是唯一的。
换句话说：如果 y=sin(x)，现在 y = 0 的路径在哪个位置？无限解当然是 x=k*pi，但这里很明显，这不是唯一的。