加速莱布尼兹级数计算 Pi

Question

当我学习数学时，我读到了关于 Pi 的 Leibniz Series 系列：

公式图片： https://d2vlcm61l7u1fs.cloudfront.net/media%2F0ee%2F0eeaa57b-570b-4444-93bc-7bc2f4d83931%2FphpHCRPXf.png

所以我为此编写了一个程序，对这个系列的 n 项求和：

def leibniz(n):
    pi = 0
    for i in range(1,n+1):
        if(i % 2 == 0):
            pi -= 1 / (2*i - 1)
        else:
            pi += 1/(2*i - 1)
    pi = 4 * pi
    return pi

此代码有效，但问题是它收敛到 Pi 的速度非常慢。

所以我阅读了不同的系列加速，基本上对我来说最好的是 Euler Acceleration
收敛慢是因为我的版本是交替序列，即包含(-1)^n。但是我更困惑我该如何编程。

编辑：

我了解了香克斯变换并对其进行了编程

def accelrate(n,depth):
    if depth == 1:
        a = lebniez(n + 1)
        b = lebniez(n)
        c = lebniez(n-1)
        return (a*c - b*b)/(a + c - 2*b) 
    a = accelrate(n + 1,depth - 1)
    b = accelrate(n,depth - 1)
    c = accelrate(n-1,depth - 1)
    return (a*c - b*b)/(a + c - 2*b)

所以 htis 所做的是它递归地应用 Shanks 变换并继续加速该系列。但现在的问题是，由于递归，它非常慢，如果增加深度，准确性也不会提高。

这就是香克斯转型的低效吗

Answer 1

所以经过深思熟虑，我想到了在我的 this shanks 转换中减少缓存。

虽然没有太大改进，但仍然是一个很好的改进。

这里是：

import functools as ft

@ft.lru_cache(maxsize=32)
def lebniez(n):
    pi = 0
    n = n + 1
    for i in range(1,n):
        if(i % 2 == 1):
            pi -= 1 / (2*i - 1)
        else:
            pi += 1/(2*i - 1)
    pi = abs(4 * pi)
    return pi

@ft.lru_cache(maxsize=128)
def accelrate(n,depth):
    if depth == 1:
        a = lebniez(n + 1)
        b = lebniez(n)
        c = lebniez(n-1)
    else:
        a = accelrate(n + 1,depth - 1)
        b = accelrate(n,depth - 1)
        c = accelrate(n-1,depth - 1)

    return (a*c - b*b)/(a + c - 2*b)

所以这个基础有助于让它更稳定。

接下来是Inefficiency，原因是Shanks Transformation只是针对Error(n + 1) / Error(n)的比率为常数的序列。但再次应用香克斯变换后，这会导致效率低下

加速莱布尼兹级数计算 Pi

Accelerating Leibniz Series for calculating Pi

python

pi

trigonometry

taylor-series

approximation