把一个整数分成k份

Question

我正在 java 编程，我需要制定一个算法。算法的要求是：

我们有 3 个整数变量 n、m、k；
我们想将 n 分成 k 个部分，这样 k 个部分的总和等于n，每个部分都是1和m之间的整数。
我们需要所有可能的整数组合。

例如输入集：

n = 7; m = 3; k = 4

我们可以制定两种不同的组合：

7 = 2 + 2 + 2 + 1

和

7 = 3 + 2 + 1 + 1

谢谢大家

Answer 1

要获得 "number of divisions" 的计数，您可以使用 Dynamic Programming，它遵循递归公式：

D(0,0,j) = 1
D(x,0,j) = 0     x > 0
D(x,i,j) = 0     x < 0 or j<0
D(x,i,j) = D(x-j,i-1,j) + D(x,i,j-1)

D(n,k,m)表示的答案就是这样划分的次数。
复杂度为O(n*k*m)

Java代码：

public static int numDivisions(int n, int m, int k) {
    int[][][] D = new int[n+1][k+1][m];
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        for (int x = 0; x <= n; x++) {
            D[x][0][j] = 0;
        }
        D[0][0][j] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= k; i++) { 
        for (int x = 0; x <= n; x++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                D[x][i][j] = 0;
                if (j > 0) D[x][i][j] += D[x][i][j-1];
                if (x-j-1 >=0) D[x][i][j] += D[x-j-1][i-1][j];
            }
        }
    }
    return D[n][k][m-1];
}

附带说明一下，这类似于 stars and bars 问题 - 但这里的顺序无关紧要，此外，单元格中 "stars" 的数量有上限。

Answer 2

我相信这可以通过递归轻松完成。首先检查你是否可以划分n，即n<=m*k && n>=k，如果不能，return空数组。

如果可整除，依次从范围[1..m]中选择m'作为第一个数字，然后递归得到其余的参数n'=n-'m, m'=m', k'=k-1，然后return所有的结果。

只有 n=0 和 k=0 的递归才会成功停止。时间复杂度应该和输出的大小一样。

Answer 3

这个想法是一种回溯算法方法（递归），您可以减少参数并获得部分解决方案，然后检查您是否有正确的解决方案。

public class Problem {

    private static void algorithm(int n, int k, int m) {
        algorithmRecursive(Collections.EMPTY_LIST, n, k, m, 1);
    }

    private static void algorithmRecursive(List<Integer> partial, int n, int k, int m, int min) {
        if ( (k > 0) ) {
            // Optimization
            if ((n <= k * m) && (n >= k*min)){
                for (int i = min; i <= Math.min(m, n); i++) {
                    List<Integer> newPartial = new ArrayList<>(partial);
                    newPartial.add(i);
                    algorithmRecursive(newPartial, n - i, k - 1, m, i);
                }
            }
        } else if (n == 0) {
            // Right solution
            System.out.println(partial);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        algorithm(7,4,3);
    }
}

把一个整数分成k份

division an integer into k parts

java

algorithm

integer-division