使用带约束的 linalg 求解系统

Question

我想使用 linalg 以矩阵形式求解某个系统，但所得解的总和应为 1。例如，假设有 3 个未知数 x、y、z。求解系统后，它们的值总和应为 1，例如 .3、.5、.2。谁能告诉我该怎么做？

目前，我正在使用类似 result = linalg.solve(A, B) 的东西，其中 A 和 B 是矩阵。但这不是 return 范围内的解决方案 [0, 1].

Answer 1

linalg.solve is used to compute the "exact" solution, x, of the well-determined, i.e., full rank, linear matrix equation ax = b.

存在线性，至多有一个解。如果您找到的解决方案不总和为 1，然后添加额外的约束将不会产生任何解决方案。

但是，您可以使用 scipy.optimize.minimize 在约束平面上找到 最小化 数量的点 ||Ax-b||^2:

def f(x):
    y = np.dot(A, x) - b
    return np.dot(y, y)

cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: x.sum() - 1})
res = optimize.minimize(f, [0, 0, 0], method='SLSQP', constraints=cons, 
                        options={'disp': False})

例如，给出这个方程组

import numpy as np
import numpy.linalg as LA
import scipy.optimize as optimize

A = np.array([[1, 3, 4], [5, 6, 9], [1, 2, 3]])
b = np.array([1, 2, 1])
x = LA.solve(A, b)

解加起来不等于1：

print(x)
# [-0.5 -1.5  1.5]

但是你可以尝试最小化 f:

def f(x):
    y = np.dot(A, x) - b
    return np.dot(y, y)

受约束cons:

cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: x.sum() - 1})
res = optimize.minimize(f, [0, 0, 0], method='SLSQP', constraints=cons, 
                        options={'disp': False})
xbest = res['x']
# array([ 0.30000717,  1.89998823, -1.1999954 ])

xbest 总和为 1:

print(xbest.sum())
1

区别A·xbest - b是：

print(np.dot(A, xbest) - b)
# [ 0.19999026  0.10000663 -0.50000257]

差的平方和（也可计算为f(xbest)）为：

print(res['fun'])
0.30000000014542572

没有其他 x 值在满足约束条件的同时更能最小化此数量。

Answer 2

您可以在 A 中添加一行，在 B 中添加一个。之后使用结果 = linalg.lstsq(A, B)[0]

或者您可以将 A 的其中一行替换为由 1 组成的行，也可以将 B 中的值替换为同一行中的一个。然后使用结果 = linalg.solve(A, B)

Answer 3

作为替代方案，您可以将 numpy.linalg.lstsq 与 A 矩阵的新行结合使用：[1, 1, 1] 和 B 矩阵 [1].

import numpy as np
A = np.array([[1, 0, 1],
              [0, 1, 1],
              [1, 1, 0],
              [1, 1, 1]]
B = np.array([[0.5, 0.7, 0.8, 1.0]]).T
x, _, _, _ = np.linalg.lstsq(A, B)

这使得 x 为 [[0.3], [0.5], [0.2]]。

使用带约束的 linalg 求解系统

Solving system using linalg with constraints

python

numpy

matrix

equation-solving