为什么通过除法而不是乘法来精确表示二进制？

Question

此问题的部分内容已在别处解决（例如 is floating point math broken?）。

以下揭示了除法与乘法生成数字的方式不同：

>>> listd = [i/10 for i in range(6)]
>>> listm = [i*0.1 for i in range(6)]
>>> print(listd)
[0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5]
>>> print(listm)
[0.0, 0.1, 0.2, 0.30000000000000004, 0.4, 0.5]

第二种情况，0.3的舍入误差约为1e-16，双精度浮点数。

但是我不明白关于输出的三件事：

既然这里唯一可以用二进制精确表示的数字是 0.0 和 0.5，为什么上面打印的不是唯一精确的数字？
为什么这两个列表理解的评估不同？
为什么数字的两个字符串表示不同，但二进制表示不同？

>>> def bf(x):
        return bin(struct.unpack('@i',struct.pack('!f',float(x)))[0])
>>> x1 = 3/10
>>> x2 = 3*0.1
>>> print(repr(x1).ljust(20), "=", bf(x1))
>>> print(repr(x2).ljust(20), "=", bf(x2))
0.3                  = -0b1100101011001100110011011000010
0.30000000000000004  = -0b1100101011001100110011011000010

Answer 1

这里的关键点是 10 是用二进制表示的，而 0.1 不是。除以 10 可以得到每个分数最接近的表示；乘以 0.1 的不精确转换并不能保证精度。有时您会“足够接近”以将结果四舍五入到一位小数，有时则不然。

这些理由够吗？

Answer 2

回答每个问题：

Since the only numbers here exactly representable in binary are 0.0 and 0.5, why aren't those the only exact numbers printed above?

Python 将任何浮点数的显示四舍五入为计算时产生相同值的最短文字。所以是的，其中许多数字实际上与它们代表的实际数字并不相同，但如果你在 Python 中输入它们，你会在没有数学的情况下得到那个（稍微不准确的）值。

Why do the two list comprehensions evaluate differently?

正如您所说，

0.1 已经不准确，因此乘以它并不完全等同于除以 10（其中至少两个输入都是精确整数）。有时，这种不准确意味着结果与除以 10 不同；毕竟，你乘以“刚刚超过十分之一”，而不是“十分之一”。

为什么通过除法而不是乘法来精确表示二进制？

Why exact binary representation through division but not multiplication?

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