应用由单独的固定点确定的旋转矩阵 - python
Apply rotation matrix determined by separate fixed point - python
我正在对一组点应用旋转矩阵，目的是使这些点沿水平轴对齐。使用下面，我要调整的xy点记录在x和y。
我希望使用 X_Ref 和 Y_Ref 以及 X_Fixed 和 Y_Fixed 之间的角度来转换点。我也希望转换点，以便 X_Ref 和 Y_Ref 在旋转完成后位于 0,0。
旋转点目前不为此进行调整。我不确定是否应该在旋转之前或之后考虑参考点。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({
'Period' : ['1','1','1','1','2','2','2','2'],
'Label' : ['A','B','C','D','A','B','C','D'],
'x' : [2.0,3.0,3.0,2.0,2.0,3.0,3.0,1.0],
'y' : [2.0,3.0,-1.0,0.0,2.0,3.0,-1.0,1.0],
'X_Ref' : [1,1,1,1,2,2,2,2],
'Y_Ref' : [1,1,1,1,0,0,0,0],
'X_Fixed' : [0,0,0,0,0,0,0,0],
'Y_Fixed' : [0,0,0,0,2,2,2,2],
})
np.random.seed(1)
xy = df[['x','y']].values
Ref = df[['X_Ref','Y_Ref']].values
Fix = df[['X_Fixed','Y_Fixed']].values
fig, ax = plt.subplots()
plot_kws = {'alpha': 0.75,
'edgecolor': 'white',
'linewidths': 0.75}
ax.scatter(xy[:, 0], xy[:, 1], **plot_kws)
ax.scatter(Ref[:, 0], Ref[:, 1], marker = 'x')
ax.scatter(Fix[:, 0], Fix[:, 1], marker = '+')
pca = PCA(2)
# Fit the PCA object, but do not transform the data
pca.fit(xy)
# pca.components_ : array, shape (n_components, n_features)
# cos theta
ct = pca.components_[0, 0]
# sin theta
st = pca.components_[0, 1]
# One possible value of theta that lies in [0, pi]
t = np.arccos(ct)
# If t is in quadrant 1, rotate CLOCKwise by t
if ct > 0 and st > 0:
t *= -1
# If t is in Q2, rotate COUNTERclockwise by the complement of theta
elif ct < 0 and st > 0:
t = np.pi - t
# If t is in Q3, rotate CLOCKwise by the complement of theta
elif ct < 0 and st < 0:
t = -(np.pi - t)
# If t is in Q4, rotate COUNTERclockwise by theta, i.e., do nothing
elif ct > 0 and st < 0:
pass
# Manually build the ccw rotation matrix
rotmat = np.array([[np.cos(t), -np.sin(t)],
[np.sin(t), np.cos(t)]])
# Apply rotation to each row of 'm'. The output (m2)
# will be the rotated FIFA input coordinates.
m2 = (rotmat @ xy.T).T
# Center the rotated point cloud at (0, 0)
m2 -= m2.mean(axis=0)
初始分发期 1：
计划分发期 1：
初始分配期 2：
计划分配期 2：
你的问题不清楚，因为如果你绘制已经计算出的m2，问题中提到的“预期轮换”已经可以实现：
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter(m2[:, 0], m2[:, 1], **plot_kws)
输出：
但是你在问题中也提到了以下内容：
The rotation angle is determined by the angle between X_Ref,Y_Ref and X_Fixed,Y_Fixed.
这是一个完全不同的场景。您可以通过计算两点之间的 arctan 来计算两点之间的角度，而无需使用 PCA。这可以使用 numpy.arctan 完成，如下所示：
t = np.arctan((Y_Fixed - Y_Ref/ X_Fixed - X_Ref))
这里 (X_Fixed, Y_Fixed) 和 (X_Ref, Y_Ref) 假设为两个点。
对于数据框中的每一行，您可以根据 (X_Fixed、Y_Fixed) 之间的角度旋转后计算 x 和 y 值和 (X_Ref, Y_Ref) 在该特定行中。这可以使用以下代码片段完成；
def rotate_points(row):
t = np.arctan((row['Y_Fixed'] - row['Y_Ref']/ row['X_Fixed'] - row['X_Ref']))
rotmat = np.array([[np.cos(t), -np.sin(t)],
[np.sin(t), np.cos(t)]])
xy = row[['x','y']].values
rotated = rotmat @ xy
return rotated
df['rotated_x'] = df.apply(lambda row: rotate_points(row)[0], axis = 1)
df['rotated_y'] = df.apply(lambda row: rotate_points(row)[1], axis = 1)
您的数据框现在看起来像这样，并在右侧添加了两个新列：
+----+----------+---------+-----+-----+---------+---------+-----------+-----------+-------------+-------------+-------------+
| | Period | Label | x | y | X_Ref | Y_Ref | X_Fixed | Y_Fixed | Direction | rotated_x | rotated_y |
|----+----------+---------+-----+-----+---------+---------+-----------+-----------+-------------+-------------+-------------|
| 0 | 1 | A | -1 | 1 | 1 | 3 | -2 | 0 | Left | -1.34164 | 0.447214 |
| 1 | 1 | B | 0 | 4 | 1 | 3 | -2 | 0 | Left | -1.78885 | 3.57771 |
| 2 | 1 | C | 2 | 2 | 1 | 3 | -2 | 0 | Left | 0.894427 | 2.68328 |
| 3 | 1 | D | 2 | 3 | 1 | 3 | -2 | 0 | Left | 0.447214 | 3.57771 |
| 4 | 2 | E | 2 | 4 | 1 | 3 | -2 | 0 | Right | 0 | 4.47214 |
| 5 | 2 | F | 1 | 4 | 1 | 3 | -2 | 0 | Right | -0.894427 | 4.02492 |
| 6 | 2 | G | 3 | 5 | 1 | 3 | -2 | 0 | Right | 0.447214 | 5.81378 |
| 7 | 2 | H | 0 | 2 | 1 | 3 | -2 | 0 | Right | -0.894427 | 1.78885 |
+----+----------+---------+-----+-----+---------+---------+-----------+-----------+-------------+-------------+-------------+
现在您已经根据需要旋转了 x 和 y 点。
更新：
根据修改后的问题，您可以在绘图中的 (0,0) 处添加参考点，如下所示：
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter(m2[:, 0], m2[:, 1], **plot_kws)
ax.scatter(list(np.repeat(0, len(Ref))), list(np.repeat(0, len(Ref))) , **plot_kws)
plt.show()
输出：
如果我了解您要实现的目标，则无需任何 PCA。我会使用复数，这看起来更简单：
编辑
之前翻译的步骤顺序有点小错误。此编辑将更正它并使用您的新数据集，包括在不同时期更改 ref/fixed 点。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({
'Period' : ['1','1','1','1','2','2','2','2'],
'Label' : ['A','B','C','D','A','B','C','D'],
'x' : [2.0,3.0,3.0,2.0,2.0,3.0,3.0,1.0],
'y' : [2.0,3.0,-1.0,0.0,2.0,3.0,-1.0,1.0],
'X_Ref' : [1,1,1,1,2,2,2,2],
'Y_Ref' : [1,1,1,1,0,0,0,0],
'X_Fixed' : [0,0,0,0,0,0,0,0],
'Y_Fixed' : [0,0,0,0,2,2,2,2],
})
首先，将fixed/ref指向复数：
for f in ['Ref', 'Fixed']:
df[f] = df['X_'+f] + 1j*df['Y_'+f]
df.drop(['X_'+f, 'Y_'+f], axis=1, inplace=True)
计算旋转（请注意，它是与您在问题中陈述的角度相反的角度，以符合您的预期结果）：
df['angle'] = - np.angle(df['Ref'] - df['Fixed'])
计算每个点的旋转（包括ref/fixed）：
df['rotated'] = (df['x'] + 1j*df["y"]) * np.exp(1j*df['angle'])
for f in ['Ref', 'Fixed']:
df[f+'_Rotated'] = df[f] * np.exp(1j*df['angle'])
将您的数据集围绕“参考”点居中：
df['translation'] = - df['Ref_Rotated']
df['NewPoint'] = df['rotated'] + df['translation']
for f in ['Ref', 'Fixed']:
df[f+'_Transformed'] = df[f+'_Rotated'] + df['translation']
恢复笛卡尔坐标：
df['x2'] = np.real(df['NewPoint'])
df['y2'] = np.imag(df['NewPoint'])
for f in ['Ref', 'Fixed']:
df['NewX_'+f] = np.real(df[f+'_Transformed'])
df['NewY_'+f] = np.imag(df[f+'_Transformed'])
然后绘制您喜欢的任何时间段的输出：
output = df[['Period', 'Label', 'x2', 'y2', 'NewX_Ref', 'NewY_Ref', 'NewX_Fixed', 'NewY_Fixed']]
output.set_index('Period', inplace=True)
fig, ax = plt.subplots()
plot_kws = {'alpha': 0.75,
'edgecolor': 'white',
'linewidths': 0.75}
plt.xlim(-5,5)
plt.ylim(-5,5)
period = '1'
ax.scatter(output.loc[period, 'NewX_Ref'], output.loc[period, 'NewY_Ref'])
ax.scatter(output.loc[period, 'NewX_Fixed'], output.loc[period, 'NewY_Fixed'])
ax.scatter(output.loc[period, 'x2'], output.loc[period, 'y2'], **plot_kws, marker = '+')
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.show()
第 1 期的结果：
第 2 期的结果：
我正在对一组点应用旋转矩阵，目的是使这些点沿水平轴对齐。使用下面，我要调整的xy点记录在x和y。
我希望使用 X_Ref 和 Y_Ref 以及 X_Fixed 和 Y_Fixed 之间的角度来转换点。我也希望转换点，以便 X_Ref 和 Y_Ref 在旋转完成后位于 0,0。
旋转点目前不为此进行调整。我不确定是否应该在旋转之前或之后考虑参考点。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({
'Period' : ['1','1','1','1','2','2','2','2'],
'Label' : ['A','B','C','D','A','B','C','D'],
'x' : [2.0,3.0,3.0,2.0,2.0,3.0,3.0,1.0],
'y' : [2.0,3.0,-1.0,0.0,2.0,3.0,-1.0,1.0],
'X_Ref' : [1,1,1,1,2,2,2,2],
'Y_Ref' : [1,1,1,1,0,0,0,0],
'X_Fixed' : [0,0,0,0,0,0,0,0],
'Y_Fixed' : [0,0,0,0,2,2,2,2],
})
np.random.seed(1)
xy = df[['x','y']].values
Ref = df[['X_Ref','Y_Ref']].values
Fix = df[['X_Fixed','Y_Fixed']].values
fig, ax = plt.subplots()
plot_kws = {'alpha': 0.75,
'edgecolor': 'white',
'linewidths': 0.75}
ax.scatter(xy[:, 0], xy[:, 1], **plot_kws)
ax.scatter(Ref[:, 0], Ref[:, 1], marker = 'x')
ax.scatter(Fix[:, 0], Fix[:, 1], marker = '+')
pca = PCA(2)
# Fit the PCA object, but do not transform the data
pca.fit(xy)
# pca.components_ : array, shape (n_components, n_features)
# cos theta
ct = pca.components_[0, 0]
# sin theta
st = pca.components_[0, 1]
# One possible value of theta that lies in [0, pi]
t = np.arccos(ct)
# If t is in quadrant 1, rotate CLOCKwise by t
if ct > 0 and st > 0:
t *= -1
# If t is in Q2, rotate COUNTERclockwise by the complement of theta
elif ct < 0 and st > 0:
t = np.pi - t
# If t is in Q3, rotate CLOCKwise by the complement of theta
elif ct < 0 and st < 0:
t = -(np.pi - t)
# If t is in Q4, rotate COUNTERclockwise by theta, i.e., do nothing
elif ct > 0 and st < 0:
pass
# Manually build the ccw rotation matrix
rotmat = np.array([[np.cos(t), -np.sin(t)],
[np.sin(t), np.cos(t)]])
# Apply rotation to each row of 'm'. The output (m2)
# will be the rotated FIFA input coordinates.
m2 = (rotmat @ xy.T).T
# Center the rotated point cloud at (0, 0)
m2 -= m2.mean(axis=0)
初始分发期 1：
计划分发期 1：
初始分配期 2：
计划分配期 2：
你的问题不清楚，因为如果你绘制已经计算出的m2，问题中提到的“预期轮换”已经可以实现：
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter(m2[:, 0], m2[:, 1], **plot_kws)
输出：
但是你在问题中也提到了以下内容：
The rotation angle is determined by the angle between X_Ref,Y_Ref and X_Fixed,Y_Fixed.
这是一个完全不同的场景。您可以通过计算两点之间的 arctan 来计算两点之间的角度，而无需使用 PCA。这可以使用 numpy.arctan 完成，如下所示：
t = np.arctan((Y_Fixed - Y_Ref/ X_Fixed - X_Ref))
这里 (X_Fixed, Y_Fixed) 和 (X_Ref, Y_Ref) 假设为两个点。
对于数据框中的每一行，您可以根据 (X_Fixed、Y_Fixed) 之间的角度旋转后计算 x 和 y 值和 (X_Ref, Y_Ref) 在该特定行中。这可以使用以下代码片段完成；
def rotate_points(row):
t = np.arctan((row['Y_Fixed'] - row['Y_Ref']/ row['X_Fixed'] - row['X_Ref']))
rotmat = np.array([[np.cos(t), -np.sin(t)],
[np.sin(t), np.cos(t)]])
xy = row[['x','y']].values
rotated = rotmat @ xy
return rotated
df['rotated_x'] = df.apply(lambda row: rotate_points(row)[0], axis = 1)
df['rotated_y'] = df.apply(lambda row: rotate_points(row)[1], axis = 1)
您的数据框现在看起来像这样，并在右侧添加了两个新列：
+----+----------+---------+-----+-----+---------+---------+-----------+-----------+-------------+-------------+-------------+
| | Period | Label | x | y | X_Ref | Y_Ref | X_Fixed | Y_Fixed | Direction | rotated_x | rotated_y |
|----+----------+---------+-----+-----+---------+---------+-----------+-----------+-------------+-------------+-------------|
| 0 | 1 | A | -1 | 1 | 1 | 3 | -2 | 0 | Left | -1.34164 | 0.447214 |
| 1 | 1 | B | 0 | 4 | 1 | 3 | -2 | 0 | Left | -1.78885 | 3.57771 |
| 2 | 1 | C | 2 | 2 | 1 | 3 | -2 | 0 | Left | 0.894427 | 2.68328 |
| 3 | 1 | D | 2 | 3 | 1 | 3 | -2 | 0 | Left | 0.447214 | 3.57771 |
| 4 | 2 | E | 2 | 4 | 1 | 3 | -2 | 0 | Right | 0 | 4.47214 |
| 5 | 2 | F | 1 | 4 | 1 | 3 | -2 | 0 | Right | -0.894427 | 4.02492 |
| 6 | 2 | G | 3 | 5 | 1 | 3 | -2 | 0 | Right | 0.447214 | 5.81378 |
| 7 | 2 | H | 0 | 2 | 1 | 3 | -2 | 0 | Right | -0.894427 | 1.78885 |
+----+----------+---------+-----+-----+---------+---------+-----------+-----------+-------------+-------------+-------------+
现在您已经根据需要旋转了 x 和 y 点。
更新：
根据修改后的问题，您可以在绘图中的 (0,0) 处添加参考点，如下所示：
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter(m2[:, 0], m2[:, 1], **plot_kws)
ax.scatter(list(np.repeat(0, len(Ref))), list(np.repeat(0, len(Ref))) , **plot_kws)
plt.show()
输出：
如果我了解您要实现的目标，则无需任何 PCA。我会使用复数，这看起来更简单：
编辑
之前翻译的步骤顺序有点小错误。此编辑将更正它并使用您的新数据集，包括在不同时期更改 ref/fixed 点。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({
'Period' : ['1','1','1','1','2','2','2','2'],
'Label' : ['A','B','C','D','A','B','C','D'],
'x' : [2.0,3.0,3.0,2.0,2.0,3.0,3.0,1.0],
'y' : [2.0,3.0,-1.0,0.0,2.0,3.0,-1.0,1.0],
'X_Ref' : [1,1,1,1,2,2,2,2],
'Y_Ref' : [1,1,1,1,0,0,0,0],
'X_Fixed' : [0,0,0,0,0,0,0,0],
'Y_Fixed' : [0,0,0,0,2,2,2,2],
})
首先，将fixed/ref指向复数：
for f in ['Ref', 'Fixed']:
df[f] = df['X_'+f] + 1j*df['Y_'+f]
df.drop(['X_'+f, 'Y_'+f], axis=1, inplace=True)
计算旋转（请注意，它是与您在问题中陈述的角度相反的角度，以符合您的预期结果）：
df['angle'] = - np.angle(df['Ref'] - df['Fixed'])
计算每个点的旋转（包括ref/fixed）：
df['rotated'] = (df['x'] + 1j*df["y"]) * np.exp(1j*df['angle'])
for f in ['Ref', 'Fixed']:
df[f+'_Rotated'] = df[f] * np.exp(1j*df['angle'])
将您的数据集围绕“参考”点居中：
df['translation'] = - df['Ref_Rotated']
df['NewPoint'] = df['rotated'] + df['translation']
for f in ['Ref', 'Fixed']:
df[f+'_Transformed'] = df[f+'_Rotated'] + df['translation']
恢复笛卡尔坐标：
df['x2'] = np.real(df['NewPoint'])
df['y2'] = np.imag(df['NewPoint'])
for f in ['Ref', 'Fixed']:
df['NewX_'+f] = np.real(df[f+'_Transformed'])
df['NewY_'+f] = np.imag(df[f+'_Transformed'])
然后绘制您喜欢的任何时间段的输出：
output = df[['Period', 'Label', 'x2', 'y2', 'NewX_Ref', 'NewY_Ref', 'NewX_Fixed', 'NewY_Fixed']]
output.set_index('Period', inplace=True)
fig, ax = plt.subplots()
plot_kws = {'alpha': 0.75,
'edgecolor': 'white',
'linewidths': 0.75}
plt.xlim(-5,5)
plt.ylim(-5,5)
period = '1'
ax.scatter(output.loc[period, 'NewX_Ref'], output.loc[period, 'NewY_Ref'])
ax.scatter(output.loc[period, 'NewX_Fixed'], output.loc[period, 'NewY_Fixed'])
ax.scatter(output.loc[period, 'x2'], output.loc[period, 'y2'], **plot_kws, marker = '+')
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.show()
第 1 期的结果：
第 2 期的结果：