scipy 对数范数中的部分期望公式

Question

我一直在尝试将对数正态分布的 scipy 输出与 wikipedia 上的公式相匹配。

而且我被困在具有下限的部分期望上。

如果我使用这个简单的对数正态分布：

k = .25
sigma = .5
mu = .1 # from the logged variable
lnorm = scist.lognorm(s=sigma, scale=np.exp(mu))

其中 k 是下限，

据我了解，部分期望由下式给出：

很好。所以我们只是在谈论对数正态分布的均值和具有 z 分数的 CDF。 scipy 提供部分

lnorm.expect(lambda x:x, lb=k)
>>> 1.25199...

确实，我们可以通过根据条件期望检查它来确认这是部分。直接计算或使用上面的部分产生相同的结果：

 lnorm.expect(lambda x:x, lb=k) / (1 - lnorm.cdf(k))
 >>> 1.25385... 
 lnorm.expect(lambda x:x, lb=k, conditional=True)
 >>> 1.25385...

但是，scipy 的 cdf 函数采用 x 变量，而不是 z 分数，我不确定如何转换它：

变成了x值。我试过很多不同的口味。

我本以为：

会解决当 scipy 的 cdf（大概）在内部计算 z 分数时必须减去 mu 的问题。

我使用的任何公式都以非常小或 0 的值结束。

如有任何帮助，我们将不胜感激。

Answer 1

IIUC，您可以简单地计算 (mu+sigma^2-ln(k))/2 中正态分布 N(0,1) 的 CDF，即

import numpy as np
import scipy.stats as sps

def partial_expectation(mu, sigma, k):
    """
    Returns partial expectation given
    mean, standard deviation and k.
    
    https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution
    """
    # compute cumulative density function
    # of Normal distribution N(0,1) in x=x_phi
    x_phi = (mu + sigma**2 - np.log(k))/sigma
    phi = sps.norm.cdf(x_phi, loc=0, scale=1)
    # mean of lognormal
    lognorm_mu = np.exp(mu + .5*(sigma**2))
    # result
    return lognorm_mu * phi

k = .25
sigma = .5
mu = .1 # from the logged variable
lnorm = sps.lognorm(s=sigma, scale=np.exp(mu))

print('from def:', partial_expectation(mu, sigma, k))
print('from sps:', lnorm.expect(lb=k))

from def: 1.251999952174895
from sps: 1.2519999521748952

scipy 对数范数中的部分期望公式

Formula for partial expectation in scipy lognorm

python

scipy

python-3.x

scipy.stats