插值频率

Question

这与其说是编程问题，不如说是数学问题，但现在我已经在两个不同的编程项目中遇到过两次。

我想创建一个函数，w_sweep(t, f0, t0, f1, t1)，它在时间 t 采样一个正弦波，该正弦波扫过从 f0 到 t == t0 到 f1 当 t == t1。（您可以假设频率以赫兹为单位，时间以秒为单位。我不在乎 t 超出范围 t0..t1 时会发生什么。）

我首先编写了一个使用恒定频率的更简单的函数：

float w_steady(float t, float freq) {
  return std::sin(2.0f * PI * freq * t);
}

直觉上，w_sweep 似乎只涉及频率的线性插值。

// INCORRECT SOLUTION
float w_sweep(float t, float f0, float t0, float f1, float t1) {
  const float freq = std::lerp(f0, f1, (t - t0)/(t1 - t0));
  return std::sin(2.0f * PI * freq * t);
}

乍一看，结果似乎是正确的：频率确实是f0在t0附近，然后开始向f1扫去。但是当你达到 t1 时，实际波形将超过 f1 相当多。

我认为发生的事情是，我们实际上不是用 t 线性扫描频率，而是在 t*t，因为 t 是参数中的一个因素和 freq 中的一个因素。另一种思考方式是每个样本都来自不同的波函数。它们都是不同恒定频率的正弦波。但它们并不真正相关（除了在时间 0 时，它们都将给出相同的值）。

如果我想创建带有循环的连续样本，我可以通过沿符号波累积位置来解决问题。

float omega = 0;
for (float t = t0; t <= t1; t += dt) {
  samples.push_back(std::sin(omega));
  const float freq = std::lerp(f0, f1, (t - t0)/(t1 - t0));
  omega += 2.0f * PI * freq * dt;
}

可行，但我更喜欢 w_sweep 可以在任意时间对其进行采样。

Answer 1

相反的，周期的变化是明智的。对于频率 f0，周期 T0 = 1/f0。对于频率 f1，你有一个周期 T1=1/f1.

现在，当您评估 w_sweep(t) 时，您没有使用一个句点 T0，然后是一个句点 lerp(T0,T1,...) 等等。相反，您确定一个周期 T = 1.0/std::lerp(f0, f1, (t - t0)/(t1 - t0))，然后计算 sin(2*pi*t/T)，这当然是 sin(2*pi*frac(t/T)).

我想你想要的（不完全确定）是f=1/lerp(1/f0, 1/f1, (t - t0)/(t1 - t0))

Answer 2

你得从相位的角度考虑。对于恒定频率，phase 只是 time 和 frequency 的乘积。但总的来说，它是 频率函数 在时间上的积分。

展示其工作原理的最简单方法是使用图表，但也可以使用形式数学。不幸的是，SO markdown 既不支持图形也不支持乳胶降价。但如果通过，结果是：

float w_sweep(float t, float f0, float t0, float f1, float t1) {
  float const freq = std::lerp(f0, f1, (t - t0)/(t1 - t0));
  return std::sin(PI * (f0 + freq) * (t-t0));
}

图形化的方法可以描述如下：相位是时间频率函数下的区域，自 t0 以来被覆盖。对于我们的示例，最好将其拆分为底部 f0*(t-t0) 的矩形区域和顶部 0.5*(freq-f0)*(t-t0) 的三角形区域。将总和乘以 2π 得到 PI * (f0 + freq) * (t-t0).

插值频率

Interpolating frequencies

c++

math

sampling