向量已被插值的矩阵向量乘法 - Python

Question

我已经使用有限元法逼近了拉普拉斯方程并因此将其转化为矩阵系统 AU = F 其中 A 是刚度矢量并求解 U（对我来说不是很重要问题）。

我现在得到了我的近似值 U，当我找到 AU 时，我应该得到向量 F（或至少类似），其中 F 是：

AU 给出了 x = 0 到 x = 1 的以下图（例如，对于 20 个节点）：

然后我需要将 U 插值到更长的向量并找到 AU（对于更大的 A 也是如此，但不插值）。我通过以下方式对 U 进行插值：

U_inter = interp1d(x,U)
U_rich = U_inter(longer_x)

这似乎工作正常，直到我将它与更长的 A 矩阵相乘：

似乎每个尖峰都在 x 的一个节点（即原始 U 的节点）。有谁知道这可能是什么原因造成的？以下是我查找 A、U 和 F 的代码。

import numpy as np
import math
import scipy
from scipy.sparse import diags
import scipy.sparse.linalg
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

def Poisson_Stiffness(x0):
    """Finds the Poisson equation stiffness matrix with any non uniform mesh x0"""

    x0 = np.array(x0)
    N = len(x0) - 1 # The amount of elements; x0, x1, ..., xN

    h = x0[1:] - x0[:-1]

    a = np.zeros(N+1)
    a[0] = 1 #BOUNDARY CONDITIONS
    a[1:-1] = 1/h[1:] + 1/h[:-1]
    a[-1] = 1/h[-1]
    a[N] = 1 #BOUNDARY CONDITIONS

    b = -1/h
    b[0] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS

    c = -1/h
    c[N-1] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS: DIRICHLET

    data = [a.tolist(), b.tolist(), c.tolist()]
    Positions = [0, 1, -1]
    Stiffness_Matrix = diags(data, Positions, (N+1,N+1))

    return Stiffness_Matrix

def NodalQuadrature(x0):
    """Finds the Nodal Quadrature Approximation of sin(pi x)"""

    x0 = np.array(x0)
    h = x0[1:] - x0[:-1]
    N = len(x0) - 1

    approx = np.zeros(len(x0))
    approx[0] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS

    for i in range(1,N):
        approx[i] = math.sin(math.pi*x0[i])
        approx[i] = (approx[i]*h[i-1] + approx[i]*h[i])/2

    approx[N] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS

    return approx

def Solver(x0):

    Stiff_Matrix = Poisson_Stiffness(x0)

    NodalApproximation = NodalQuadrature(x0)
    NodalApproximation[0] = 0

    U = scipy.sparse.linalg.spsolve(Stiff_Matrix, NodalApproximation)

    return U

x = np.linspace(0,1,10)
rich_x = np.linspace(0,1,50)
U = Solver(x)
A_rich = Poisson_Stiffness(rich_x)
U_inter = interp1d(x,U)
U_rich = U_inter(rich_x)
AUrich = A_rich.dot(U_rich)
plt.plot(rich_x,AUrich)
plt.show()

Answer 1

评论 1：

我添加了一个 Stiffness_Matrix = Stiffness_Matrix.tocsr() 语句以避免效率警告。有限元计算非常复杂，我必须打印出一些中间值才能确定发生了什么。

评论 2：

plt.plot(rich_x,A_rich.dot(Solver(rich_x)))剧情不错。您得到的噪声是内插 U_rich 与真实解之间差异的结果：U_rich-Solver(rich_x).

评论 3：

我认为您的代码没有问题。问题在于您可以通过这种方式测试插值。我对 FE 理论很陌生，但我认为你需要使用形状函数进行插值，而不是简单的线性插值。

评论 4：

凭直觉，A_rich.dot(U_rich) 你问的是，什么样的强迫 F 会产生 U_rich。与 Solver(rich_x) 相比，U_rich 具有平坦点，其值小于真实解的区域。 F 会产生什么？一个尖尖的，NodalQuadrature(x) 在 x 点，但两者之间的值接近零。这就是你的情节所显示的。

更高阶的插值将消除平坦点，并产生更平滑的反向计算 F。但是你真的需要重新审视有限元理论。

您可能会发现它很有启发性

plt.plot(x,NodalQuadrature(x))
plt.plot(rich_x, NodalQuadrature(rich_x))

第二个图更平滑，但只有原来的 1/5 左右

最好看看：

plt.plot(rich_x,AUrich,'-*')  # the spikes
plt.plot(x,NodalQuadrature(x),'o')  # original forcing
plt.plot(rich_x, NodalQuadrature(rich_x),'+') # new forcing

在模型中，强制不是连续的，它是每个节点的一个值。节点越多 (rich_x)，每个节点的幅度越小。

向量已被插值的矩阵向量乘法 - Python

Matrix vector multiplication where the vector has been interpolated - Python

python

interpolation

scipy

finite-element-analysis