数据类型的复杂区分是否合理？

Question

曾经问过猪工how to express that a type is infinitely differentiable。这个问题让我想起了这样一个事实，即在复杂的分析中，一个可微分的函数（在一个开集上）必须是无限可微分的（在那个集合上）。有没有办法谈论数据类型的复杂差异？如果是这样，类似的定理是否成立？

Answer 1

不是一个真正的答案...但是这个咆哮对于评论来说太长了。

我发现认为复数可微性仅意味着无限可微性有点误导。它实际上比这强得多：如果一个函数是复可微的，那么它在任何点的导数 determine the entire function。因为无限可微性给你一个完整的泰勒级数，你有一个解析函数等于你的函数，即是你的函数本身。所以，在某种意义上，复杂的可微函数是解析的……因为它们是。
_{从（标准）微积分的角度来看，实微积分与复微积分之间的主要区别在于，在实数中，只有一个方向可以采用差商的极限（f(x+δ) - fx)/δ。您只需要求左极限等于右极限。但是因为这是 在 限制之后的等式，所以这只在局部有影响。 （从拓扑学上讲，约束只是比较两个离散值，所以它根本没有真正处理连续性。）
OTOH，对于复杂的可微性，如果我们从整个复平面的任何方向接近 x，我们要求差商的极限相同。这是一个完整的连续自由度约束。然后您可以继续执行拓扑技巧（柯西积分本质上就是这样）以在整个域中“传播”约束。}

我认为这在哲学上有点问题。 全纯函数根本不是真正的函数，例如：它们不是由整个域的结果值定义的，而是通过某种方式用解析来编写它们的公式（即可能无限的代数表达式/多项式）。
_{大多数数学家和物理学家显然很喜欢这样——这样的表达方式正是他们通常编写函数的方式。
我一点也不喜欢它：对我来说，一个函数应该是一个函数，由单独的值定义的东西，比如你可以在 space 中测量的场强或你可以定义的结果在 Haskell。
总之，我跑题了...}

如果我们将这个问题从关于数字的函数转换为关于 Haskell 类型的函子，我想结果是复杂的 diff'ability 意味着：类型 可以写成一个（可能是无限的？）ADT多项式。 the post you linked to.

中展示了如何为此类 ADT 获得无限可微性

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另一个旋转......也许更接近答案。

Haskell 类型的这些“导数”在微积分意义上并不是真正的导数。与此一样，他们不受小扰动响应分析概念的激励^†。碰巧你可以在数学上证明，对于一个非常具体的 class 函数——那些由代数表达式定义的函数——微积分导数可以再次以简单的代数方式写出（由众所周知的微分给出规则）。这意味着您可以无限次微分。

这种符号微分的有用性也促使人们将其视为更抽象的操作。当你区分 Haskell 类型时，主要是你要追求的代数定义，而不是原始的微积分定义。

这很好......但是一旦你在做代数而不是微积分，区分“真实”和“复杂”就没有多大意义了——实际上两者都不是，因为你 不是 处理值但值的符号表示。一种无类型语言，如果你愿意的话（事实上，Haskell 的类型语言仍然是无类型的，所有东西都有类型 *）。

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^†_{无论是传统收敛极限还是NSA-无穷小.}