使用 SciPy 求解 Lotka-Volterra 模型

Question

我有以下 Lotka-Volterra 模型

dN1/dt = N1(1-N1-0.7N2)

dN2/dt = N2(1-N2-0.3N1)

其中N旁边的1和2是下标。

我想使用 SciPy 解决这个问题并可视化结果。我想在 y 轴上绘制 N2，在 N1 上绘制 N1。如果在第一个方程中将 N1 设置为零，则 N2 = 1/0.7，如果在第二个方程中将 N2 设置为零，则 N1 = 0.3/1。假设两条线相交。我如何在 Python 中执行此操作？

我在网上阅读了这个 tutorial（幻灯片 6 到 16）。这是我目前所拥有的。

import numpy as np
from scipy import integrate
import matplotlib.pyplot as plt

def derivN1(y,t):
    yprime=np.array([1-0.7y[0]])
    return yprime

def derivN2(y,t):
    yprime=np.array([1-0.3y[0]])
    return yprime

start=0
end=1
numsteps=1000
time=np.linspace(start,end,numsteps)
y0=np.array([10])

yN1=integrate.odeint(derivN1,y0,time)
yN2=integrate.odeint(derivN2,y0,time)

plt.plot(time,yN1[:])
plt.plot(time,yN2[:])

但情节不正确。更新：我想我使用了错误的方法。我正在在线阅读另一本 tutorial。我会再解决这个问题。同时，如果有人知道如何解决它，请告诉我。

Answer 1

@WarrenWeckesser 的评论非常好，你应该从这里开始。我只会尝试强调隐式情节和显式情节之间的差异。

首先，设置：

import numpy as np
from scipy import integrate
import matplotlib.pyplot as plt

time=np.linspace(0,15,5*1024)

def derivN(N, t):
    """Return the derivative of the vector N, which represents
    the tuple (N1, N2). """

    N1, N2  = N
    return np.array([N1*(1 - N1 - .7*N2), N2*(1 - N2 - .3*N1)])

def coupled(time, init, ax):
    """Visualize the system of coupled equations, by passing a timerange and
    initial conditions for the coupled equations.

    The initical condition is the value that (N1, N2) will assume at the first
    timestep. """

    N = integrate.odeint(derivN, init, time)
    ax[0].plot(N[:,0], N[:,1], label='[{:.1f}, {:.1f}]'.format(*init))  # plots N2 vs N1, with time as an implicit parameter
    l1, = ax[1].plot(time, N[:,0], label='[{:.1f}, {:.1f}]'.format(*init))
    ax[1].plot(time, N[:,1], color=l1.get_color())

重要的是要认识到你的方程是耦合的，你应该向 odeint 呈现一个 return 耦合方程的导数的函数。由于你有 2 个方程，你需要 return 一个长度为 2 的数组，每个项目代表传入变量的导数（在本例中是数组 N(t) = [N1(t), N2(t)]）。

然后您就可以绘制它了，对 N1 和 N2 使用不同的初始条件：

fh, ax = plt.subplots(1,2)
coupled(time, [.3, 1/.7], ax)
coupled(time, [.4, 1/.7], ax)
coupled(time, [1/.7, .3], ax)
coupled(time, [.5, .5], ax)
coupled(time, [.1, .1], ax)
ax[0].legend()
ax[1].legend()
ax[0].set_xlabel('N1')
ax[0].set_ylabel('N2')
ax[1].set_xlabel('time')
ax[1].set_ylabel(r'$N_i$')
ax[0].set_title('implicit')
ax[1].set_title('explicit (i.e. vs independant variable time)')
plt.show()

您会注意到 N1 和 N2 都会演化到某个最终值，但这两个值是不同的。对于给定的方程，隐式图中的曲线不相交。

使用 SciPy 求解 Lotka-Volterra 模型

Solve Lotka-Volterra model using SciPy

python

numpy

ode

differential-equations