class P 中语言的线性时间减少,复杂性影响

Linear time reduction of languages in class P, complexity implications

我在理解 P 和 NP 缩减这个主题时遇到问题。我知道如果语言 L1 可以在线性时间内简化为语言 L2 并且 L2 在 P 中,这意味着 L1 在 P 中。但是如果我们知道 L2 的时间复杂度可以说是 theta(n log n),我们可以说 L1 在 O(n log n) 中运行?因为从 L1 到 L2 的减少是线性时间,而 L2 在 theta(n log n) 中运行,所以它将是 O(n) + theta(n log n)。并且还可以说 L2 也可以线性减少到 L3,我们可以说 L3 在 omega(n log n)?

中运行

tl;dr: 是的。是的,如果你指的是大 Omega。


第一部分是正确的:如果你可以在 Theta((n*log(n))) 中决定 L2,这意味着它可以在 O(n*log(n)) 中完成,你可以将 L1 减少到L2 in O(n),那么您也可以根据您所做的论点在 O(n*log(n)) 中决定 L1。 (注意:这确实 not 意味着,你不可能在小于这个的情况下决定 L1 - 可能有一种算法可以在 O(n) 中解决 L1。它只是一个上限...)

但是,第二部分不正确。如果你可以将 L2 减少到 L3,那么无论从 L2 减少到 L3 的 运行 时间是多少,你都可以不用说 L3s 运行 时间。(更新:仅此表明 L3 可能更难,而不是更多)L3 可能是一个非常难的问题,例如 SAT。然后很可能你可以将 L2 减少到它,即你可以用 'rephrasing'(减少)问题 + SAT 求解器来解决 L2 - SAT 仍然是 NP-complete。


免责声明:正如 DavidRicherby 在评论中指出的那样,我的回答的第二部分是错误的 - @ uchman21 你是对的,L3 必须在 Omega(n*log(n)) 中(注意上部案例!):

如果我们知道L2的复杂度是Theata(n*log(n))(上下界,O(n*log(n))andOmega( n*log(n))) 并且我们可以在时间 O(n) 中将 L2 减少到 L3,那么 L3 至少和 L2 一样难 - 因为我们知道 没有算法 可以比Omega(n*log(n))更快的解决问题L2。但是,如果 L3 更快,即在 o(n*log(n)) 中,则算法 'reduction+solve_L3' 在 O(n)+o(n*log(n)) 中运行,它仍然在 o( n*log(n)) 并且它解决了 L2 - 矛盾。因此,L3 必须在 Omega(n*log(n)).