Difference/Differential代数方程组极大值的数值解

Question

我从一个差分方程组（一个过于简化的索洛-罗默经济模型）开始：

其中t下标表示离散时间，如Y[t=0], Y[t=1], Y[t=2], ...

具体来说：

eq1: Y[t] = A[t]*K[t]^(1/3)*Ly[t]^(2/3);
eq2: K[t+1] - K[t] = s*Y[t] - d*K[t];
eq3: A[t+1] - A[t] = z*A[t]*La[t];
eq4: Ly[t] + La[t] = L;
eq5: La[t] = l*L;

Endogenous variables (unknowns), and their initial conditions:
    Y[t]          Y[0] = 9663.8253
    K[t]          K[0] = 100.0
    A[t]          A[0] = 100.0
    Ly[t]        Ly[0] = 95.0
    La[t]        La[0] = 5.0

Exogenous variables (givens):
    s: 0.15;
    d: 0.07;
    z: 0.02;
    l: 0.05;
    L: 100.0;

这是包含 5 个未知数的 5 个方程。 "Solving" 该系统在实践中在数值上是微不足道的：您只需从 t=0 开始，使用初始条件，从差分方程计算 K[1] 和 A[1]，然后计算 Y[1] 从那。

尽管它微不足道，但我无法确定如何实际这样做并在 Maxima 中绘制结果曲线。

如果微分方程方法（真正的微分代数）更有利于 Maxima 的功能，我会非常满意。无论如何，这在数值解中应该是等价的：

即：

eq1: Y(t)=A(t)*K(t)^(1/3)*Ly(t)^(2/3);
eq2: diff(K(t),t) = s*Y(t)-d*K(t);
eq3: diff(A(t),t) = z*A(t)*La(t);
eq4: Ly(t)+La(t) = L;
eq5: La(t) = l*L;

但是，同样，我没有看到用 Runge-Kutta 或其他内置求解器对这个系统进行数值求解和绘图的方法（即使上面的代数方程可以很容易地重写为形式 0=f(Y,A,K,Ly,La)).

在这一点上，我还没有真正取得任何进展。我看到的唯一用于差分方程 (diff_rec2) 的工具是为此类系统的符号解而设计的，但一般来说，经济模型不能以封闭形式表达。 Runge-Kutta (rk) 不接受代数方程（据我所知），我不确定下一步该去哪里。

最终，鉴于此模型和类似模型的直接前向时间计算性质，我认为这将非常简单。也就是说，我确实想避免执行手动操作或将其变成特例。我对此类方程组的一般求解方法特别感兴趣，因为我计划在未来实现更复杂的模型，例如 McKinnon(1997) 开放经济。

编辑：

感谢 Robert 的（已接受的）回答，这是针对上述前向时差方程示例的完全有效的复制粘贴解决方案：

Y[t] := A[t]*K[t]^(1/3)*Ly[t]^(2/3);
K[t] := K[t - 1] + s*Y[t - 1] - d*K[t - 1];
A[t] := A[t - 1] + z*A[t - 1]*La[t - 1];
Ly[t] := L - La[t];
La[t] := l*L;

s : 0.15;
d : 0.07;
z : 0.02;
l : 0.05;
L : 100.0;

A[0] : 100.0;
K[0] : 100.0;

sol : makelist ([Y[n], K[n], A[n], Ly[n], La[t]], n, 0, 30);
v : makelist ([p-1, sol[p][1]], p, 1, 30);

plot2d ([discrete,v,0,30], logy);

Answer 1

好吧，如果目标是计算给定方程的解，我认为您可以使用所谓的记忆函数（即计算结果并记住它的函数）来实现。在 Maxima 中，此类函数由 f[k] := ... 定义（而不是普通的非记忆函数的 f(k) := ...）。在这种情况下，我认为你会：

Y[t] := A[t]*K[t]^(1/3)*Ly[t]^(2/3);
K[t] := K[t - 1] + s*Y[t - 1] - d*K[t - 1];
A[t] := A[t - 1] + z*A[t - 1]*La[t - 1];
Ly[t] := L - La[t];
La[t] := l*L;

 Y[0] : 9663.8253;
 K[0] : 100;
 A[0] : 100;
Ly[0] : 95.0;
La[0] : 5.0;

s: 0.15;
d: 0.07;
z: 0.02;
l: 0.05;
L: 100.0;

然后你可以计算例如makelist ([Y[n], K[n], A[n], Ly[n], La[t]], n, 1, 10);

如果你能自己重新排列方程式，那就行得通了；在这种情况下很容易。如果您需要解决其他问题而该方法失败了，您将需要更强大的东西。我不知道该建议什么。我的建议是在 maxima-discuss@lists.sourceforge.net 邮件列表上询问有关 Maxima 的大部分讨论。

Difference/Differential代数方程组极大值的数值解

Numerical Solution of System of Difference/Differential Algebraic Equations in Maxima

maxima

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