lapack tridiag - 特征向量错误符号

Question

我正在使用 lapack 函数 tridiag 在无限方井的模拟中找到汉密尔顿的特征向量，我似乎随机得到一个错误的符号（在这种情况下 p=4 和 6）：

红色是理论，绿色是模拟

（他们也没有归一化，但我认为这是正常的？）

这是代码：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cmath>
using namespace std;


extern "C"
void dsteqr_( char * , int *, double [], double [], double [], int *, double [],
int *  ) ; 

void  tridiag( int n, double d[], double e[], double z[] ) 
/* Appel du sous-programme dsteqr de Lapack : calcul des valeurs et vecteurs
propres d'une matrice tridiagonale symmetrique   */
{
    int info ; // diagnostic
    double work[2*n-2] ; // espace de travail
    char compz='v' ; // mettre 'n' pour n'avoir que les valeurs propres

    dsteqr_( &compz, &n, d, e, z, &n, work, &info ) ; // scalaires pointeurs
    if ( info == 0 ) cout << "La diagonalisation s'est bien passée" << endl ;
    else cout << "Attention ! SSTEQR : info =" << info << endl ;
}

double V(double x){
    return 0;
}

int main() {
    int n=100;
    double d[n], e[n-1], z[n*n], x[n], v[n], L = 5, delta_x = L/n;
    ofstream of1("eigenvalues.dat"), of2("eigenvectors.dat");
    for(int i=0; i<n; i++){
        for (int j=0; j<n; j++){
            if (i == j) z[i+n*j] = 1;
            else z[i+n*j] = 0;
        }
        x[i] = (i+0.5)*delta_x - 0.5*L;
        v[i] = V(x[i]);
        d[i] = 2/pow(delta_x, 2) + v[i];
        if (i<n-2){ 
            e[i] = -1/pow(delta_x, 2);
        }
    }
    tridiag(n,d,e,z);
    for (int i=0; i<n; i++){
        of1 << d[i] << endl;
        for (int j=0; j<n; j++){
            of2 << z[i+n*j] << " ";
        }
        of2 << x[i] << endl;
    }
    of1.close();
    of2.close();
    return 0;
}

所以有人知道发生了什么事吗？

Answer 1

您的数值结果的幅度大于参考结果的幅度是由于L=5。 LAPACK 的归一化将对应于 L=1。要获得正确的向量，请将所有值除以 L！

关于符号...如果您在正交基中更改向量的符号，结果仍然是正交基。此外，如果 A 是 Hermitian 矩阵并且如果 x 是向量使得 A.x=l.x 其中 l 是标量，则 A.(-x)=l.(-x)。所以你得到的向量的符号不是很重要......此外，如果矩阵具有多次相同的特征值，则结果可以包含与该特征值相关联的子空间的任何标准正交基。例如，如果矩阵 A 是恒等式，则任何标准正交基都是 dsteqr().

的可接受结果

lapack tridiag - 特征向量错误符号

lapack tridiag - eigenvectors wrong sign

eigenvector

lapack