分而治之算法 - 二分搜索变体

Question

这是一道理解分治算法的练习题。

给你一个包含 N 个排序整数的数组。除一个元素外，所有元素都是不同的 元素重复两次。设计一个 O (log N) 算法来找到该元素。

我知道需要划分数组，看看是否在下一个索引中找到相等的对应物，我相信是二分查找的某种变体。但我找不到任何解决方案或指导。

Answer 1

你不能在 O(log n) 时间内完成，因为在任何一步，即使你将数组分成两部分，你也无法决定哪一部分要考虑进一步处理，哪一部分应该留下。 另一方面，如果连续的数字都存在于数组中，那么通过查看索引和索引中的值，我们可以确定重复的数字是在数组的左侧还是右侧。

Answer 2

D&C 应该看起来像这样

int Twice (int a[],int i, int j) {
    if (i >= j)
       return -1;
    int k = (i+j)/2;
    if (a[k] == a[k+1]) 
       return k;
    if (a[k] == a[k-1])
       return k-1;
    int m = Twice(a,i,k-1);
    int n = Twice(a,k+1,j);
    return m != -1 ? m : n;
}


int Twice (int a[], int n) {
    return Twice(a,0,n);
}

但它的复杂度为O(n)。正如上面所说，这个问题不可能找到 O(lg n) 的算法。