为什么这个 SBV 代码在达到我设置的限制之前就停止了？

Question

我有这个定理（不确定这个词是否正确），我想得到所有的解。

pairCube limit = do
    m <- natural exists "m"
    n <- natural exists "n"
    a <- natural exists "a"
    constrain $ m^3 .== n^2
    constrain $ m .< limit
    return $ m + n .== a^2

res <- allSat (pairCube 1000)

-- Run from ghci
extractModels res :: [[Integer]]

这是试图解决的问题：

存在无限对整数 (m, n)，使得 m^3 = n^2 且 m + n 是一个完全平方数。最大的 m 小于 1000 的对是什么？

我知道实际答案，只是通过暴力破解，但我想使用 SBV。

然而，当我运行代码时，它只给出以下值（以 [m, n, a] 的形式）： [[9,27,6],[64,512,24],[]]

但是，还有其他几种 m 值小于 1000 的解未包括在内。

Answer 1

给个完整的程序总是好的：

{-# LANGUAGE ScopedTypeVariables #-}

import Data.SBV

pairCube :: SInteger -> Symbolic SBool
pairCube limit = do
        (m :: SInteger) <- exists "m"
        (n :: SInteger) <- exists "n"
        (a :: SInteger) <- exists "a"
        constrain $ m^(3::Integer) .== n^(2::Integer)
        constrain $ m .< limit
        return $ m + n .== a^(2::Integer)

main :: IO ()
main = print =<< allSat (pairCube 1000)

当我运行它时，我得到：

Main> main
Solution #1:
  m = 0 :: Integer
  n = 0 :: Integer
  a = 0 :: Integer
Solution #2:
  m =  9 :: Integer
  n = 27 :: Integer
  a = -6 :: Integer
Solution #3:
  m =  1 :: Integer
  n = -1 :: Integer
  a =  0 :: Integer
Solution #4:
  m =  9 :: Integer
  n = 27 :: Integer
  a =  6 :: Integer
Solution #5:
  m =  64 :: Integer
  n = 512 :: Integer
  a = -24 :: Integer
Solution #6:
  m =  64 :: Integer
  n = 512 :: Integer
  a =  24 :: Integer
Unknown

注意最后的Unknown.

本质上，SBV查询了Z3，得到了6个解；当 SBV 要求第 7 个时，Z3 说 "I don't know if there's any other solution." 对于非线性算法，这种行为是预期的。

为了回答原始问题（即找到最大值 m），我将约束更改为：

constrain $ m .== limit

并将其与以下 "driver:"

相结合

main :: IO ()
main = loop 1000
  where loop (-1) = putStrLn "Can't find the largest m!"
        loop m    = do putStrLn $ "Trying: " ++ show m
                       mbModel <- extractModel `fmap` sat (pairCube m)
                       case mbModel of
                         Nothing -> loop (m-1)
                         Just r  -> print (r :: (Integer, Integer, Integer))

在我的机器上运行大约 50 分钟后，Z3 生成：

(576,13824,-120)

所以，很明显，基于 allSat 的方法导致 Z3 放弃的方式比我们修复 m 并自行迭代实际实现的更早。对于非线性问题，期望任何 faster/better 对通用 SMT 求解器的要求都太过分了..

为什么这个 SBV 代码在达到我设置的限制之前就停止了？

Why does this SBV code stop before hitting the limit I set?

haskell

proof

symbolic-math

sbv