在 Agda 中证明子集的可判定性

Question

假设我在 Agda 中定义了这个子集

Subset : ∀ {α} → Set α → {ℓ : Level} → Set (α ⊔ suc ℓ)
Subset A {ℓ} = A → Set ℓ

我有一套

data Q : Set where
 a : Q
 b : Q

是否可以证明 q 的所有子集都是可判定的，为什么？

Qs? : (qs : Subset Q {zero}) → Decidable qs

Decidable 定义在这里：

-- Membership
infix 10 _∈_
_∈_ : ∀ {α ℓ}{A : Set α} → A → Subset A → Set ℓ
a ∈ p = p a

-- Decidable
Decidable : ∀ {α ℓ}{A : Set α} → Subset A {ℓ} → Set (α ⊔ ℓ)
Decidable as = ∀ a → Dec (a ∈ as)

Answer 1

不适用于子集的定义，因为可判定性需要检查 "p a" 是否有人居住，即排除中间。

可判定子集恰好映射到 Bool:

Subset : ∀ {α} (A : Set α) -> Set
Subset A = A → Bool 

_∈_ : ∀ {α}{A : Set α} → A → Subset A → Set
a ∈ p = T (p a)

但是如果你想在成员证明的形状上有更多的灵活性，你可以使用你的子集定义并携带它是可判定的证明。

在 Agda 中证明子集的可判定性

Proving decidability of subset in Agda

subset

agda

decidable