如何证明 COQ 理论的一致性
How to proof consistency in a COQ theory
我如何证明（或更好：令人信服的论证）我的 COQ 理论是一致的？
让我们假设 COQ 系统和标准库是一致的。
我知道由于哥德尔不完备性定理，一般形式的一致性证明是不可能的。
但是，是否有一些方法或经验法则可以证明该理论是一致的？
更具体一点：如果我只使用归纳数据类型而不使用明确的公理命题，我的理论是否自动一致？
Coq 的全部意义在于，如果系统接受了您的定义和证明，那么您可以相信它们在逻辑上是合理的。但是，有两个注意事项：
您必须相信系统的底层逻辑是健全的，并且是正确实施的。
您不得使用任意公理扩展基础理论，或启用不安全的选项（例如-type-in-type）。
最后一点值得解释。使用 Fixpoint、Definition 或 Inductive 等命令陈述的定义和证明属于 Coq 的基本理论，因此自动一致。这就是 Coq 对这些命令施加一些限制的原因，例如只允许某些类型的递归函数。另一方面，如果你要求 Coq 使用 Axiom 命令或类似命令接受任意命题，那么你可能会得到不一致的开发。
一些公理，例如排中律和泛函外延性，研究得比较透彻，理解得也比较好，因此如果假设的话也不会太危险。根据经验，您可以信任标准库中声明的公理。尽管如此，您还是应该小心：例如，某些标准公理与 -impredicative-set 选项不兼容（参见 here）。
如果你想确保你的开发不依赖于特殊的公理，你可以使用 Print Assumptions 命令（参见 here）列出你的结果中使用的所有公理。
我如何证明（或更好：令人信服的论证）我的 COQ 理论是一致的？
让我们假设 COQ 系统和标准库是一致的。
我知道由于哥德尔不完备性定理，一般形式的一致性证明是不可能的。
但是，是否有一些方法或经验法则可以证明该理论是一致的？
更具体一点：如果我只使用归纳数据类型而不使用明确的公理命题，我的理论是否自动一致？
Coq 的全部意义在于，如果系统接受了您的定义和证明，那么您可以相信它们在逻辑上是合理的。但是，有两个注意事项：
您必须相信系统的底层逻辑是健全的，并且是正确实施的。
您不得使用任意公理扩展基础理论，或启用不安全的选项（例如
-type-in-type）。
最后一点值得解释。使用 Fixpoint、Definition 或 Inductive 等命令陈述的定义和证明属于 Coq 的基本理论，因此自动一致。这就是 Coq 对这些命令施加一些限制的原因，例如只允许某些类型的递归函数。另一方面，如果你要求 Coq 使用 Axiom 命令或类似命令接受任意命题，那么你可能会得到不一致的开发。
一些公理，例如排中律和泛函外延性，研究得比较透彻，理解得也比较好，因此如果假设的话也不会太危险。根据经验，您可以信任标准库中声明的公理。尽管如此，您还是应该小心：例如，某些标准公理与 -impredicative-set 选项不兼容（参见 here）。
如果你想确保你的开发不依赖于特殊的公理，你可以使用 Print Assumptions 命令（参见 here）列出你的结果中使用的所有公理。