如何做（即推导）有理数和新类型的乘法（使用*）

Question

我正在实现一个小程序来处理多项式运算，灵感来自 upenn 的一项作业 cis194。代码如下（我省略了一些不相关的代码）：

newtype Poly = Poly [Rational]
    deriving Eq
s :: Poly
s = Poly [1, 0]

instance Num Poly where
    (Poly a) + (Poly b) = ...
    (Poly a) * (Poly b) = ...
    negate (Poly xs) = ...
    fromInteger i = Poly [fromInteger i]

instance Fractional Poly where
    fromRational f = Poly [fromRational f]

instance Show Poly where
    show (Poly a) = ...

pdiv :: Poly -> Poly -> (Poly, Poly)
pdiv (Poly a) (Poly b) = ...

cauer1 :: Poly -> Poly -> String
cauer1 a b =
    let (q, r) = pdiv a b
    in if r == 0 then (show q) else
        (show q) ++ " + 1/(" ++ (cauer1 b r) ++ ")"

此代码有效。例如，我可以获得多项式的长除法结果，以便使用 cauer1 函数制作 Cauer 1 形式的电路。（电路分析）

ghci > let a = Poly [1, 23%6, 10%3, 0] -- represents: s^3 + 23/6 s^2 + 10/3 s
ghci > let b = Poly [1, 3, 2]
ghci > cauer1 a b
"s + 1/(6%5 + 1/(25%42s + 1/(49%5 + 1/(1%14s))))"

我现在想要的是做这样的事情：

ghci > cauer1 (s^3 + 23%6*s^2 + 10%3*s) (s^2 + 3*s + 2)

得到相同的结果。

起初我的 Poly 类型定义为 Poly [Double]，在创建 Num 和 Fractional 的 Poly 实例并实现 fromInteger 之后和 fromRational，我可以做类似 s * 1、s * 2.3、3.4 * s^2 的事情，然后强大的类型类将毫无问题地将它们计算为 Poly。但是这样一来结果全是小数，精度不高，所以改成Poly [Rational]。但是现在我做不到 3%2 * s，他们只是根据 ghc:

输入不匹配

<interactive>:1:9:
Couldn't match expected type ‘Ratio a’ with actual type ‘Poly’
In the second argument of ‘(*)’, namely ‘s’
In the expression: (3 % 2) * s

我发现 Rational 是 Ratio Integer 而 Ratio 是 Num 和 Fractional 的实例，为什么这不起作用，怎么能我修好了吗？

Answer 1

I can do something like s * 1, s * 2.3, 3.4 * s^2 ...

是的，因为（引自 Prelude 文档）：

A floating literal stands for an application of fromRational to a value of type Rational, so such literals have type (Fractional a) => a.

.. 这意味着你可以在任何可以使用 Poly （作为 Fractional 的子类）

的地方使用这样的文字

这并不适用于例如3%2，它不是文字，而是类型为 Integral a => Ratio a 的表达式，这只意味着我可以在任何地方使用这样的表达式我可以使用 Ratio a（前提是 a Integral)。这远没有那么灵活。

然后，您需要的是一个运算符 %，这样 3%2 将获得类型 (Fractional a) => a，就像文字 3.14

这可以通过重新定义它来完成，如下例所示

import qualified Data.Ratio as R

(%) :: Fractional a => Integer -> Integer -> a
x % y = fromRational ((R.%) x y)

-- the rest as in your example

现在你可以

*YourExample> :t 3%2 * s -- ask ghci whether this makes sense ...
3%2 * s :: Poly          -- yes, it does!

如何做（即推导）有理数和新类型的乘法（使用*）

How to do (i.e. derive) multiplication (using *) of a Rational and a new type

haskell

typeclass