整数除法算法分析

Question

对于一个作业，我们需要编写一个除法算法，以便仅使用加法和递归来完成某个问题。我发现，如果不使用尾递归，简单的重复减法实现很容易导致堆栈溢出。所以快速分析这个方法，如果我错了请纠正我，表明如果你将 A 除以 B，分别有 n 和 m 个二进制数字，它应该是 n-m 的指数。我实际上得到

O( (n-m)*2^(n-m) )

因为你需要从一个n位二进制数中减去一个m位二进制数2^(n-m)次才能将n位数字降为n-1位数字，你需要这样做n-m在重复的减法除法中得到一个最多m位数的数字，所以运行时间应该如前所述。再一次，我很可能是错的，所以如果我错了，请有人纠正我。 这是假设 O(1) 加法，因为我使用的是固定大小的整数。我想对于固定大小的整数，有人可能会争辩说该算法是 O(1)。

回到我的主要问题。基于

P = 2^(k_i) + ... 2^(K_0)

我们有

A/B = (A - B*P)/B + P

算法如下计算A/B:

input:
    A, B

    i) Set Q = 0

   ii) Find the largest K such that B * 2^K <= A < B * 2(K + 1)

  iii) Q -> Q + 2^K

   iv) A -> A - B * 2^k

    v) Repeat steps ii) through iv) until A <= B

   vi) Return Q  (and A if you want the remainder)

由于仅使用加法的限制，我只是在每次递归调用时将 B 添加到自身，但是这是我的代码，没有递归并且使用移位而不是加法。

int div( unsigned int m, unsigned int n )
{
    // q is a temporary n, sum is the quotient
    unsigned int q, sum = 0;
    int i;

    while( m > n )
    {
         i = 0;
         q = n;

         // double q until it's larger than m and record the exponent
         while( q <= m )
         {
              q <<= 1;
              ++i;
         }

         i--;
         q >>= 1;         // q is one factor of 2 too large
         sum += (1<<i);   // add one bit of the quotient
         m -= q;          // new numerator
    }

    return sum;
}

我觉得 sum |= (1<<i) 可能更合适，以强调我正在处理二进制表示，但它似乎没有提供任何性能提升，并且可能使它更难理解。因此，如果 M 和 N 分别是 m 和 n 中的位数，分析表明内部循环执行了 M - N 次并且每次外循环完成 m 丢失一位，并且还必须完成 M - N 次才能满足条件 m <= n 所以我知道它是 O( (M - N)^ 2).

所以在所有这些之后，我想问我关于算法的运行时间是否正确以及是否可以改进它？

Answer 1

你的算法很好，你对运行时间的分析是正确的，但你不需要每次都做内循环：

unsigned div(unsigned num, unsigned den)
{
    //TODO check for divide by zero
    unsigned place=1;
    unsigned ret=0;
    while((num>>1) >= den) //overflow-safe check
    {
        place<<=1;
        den<<=1;
    }
    for( ;place>0; place>>=1,den>>=1)
    {
       if (num>=den)
       {
           num-=den;
           ret+=place;
       }
    }
    return ret;
}

这使得它成为 O(M-N)

整数除法算法分析

Integer Division Algorithm Analysis

c

algorithm

runtime